Varietà fibrata

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In matematica, nella categoria delle varietà differenziabili, un varietà fibrata (in inglese fibered manifold), è una sommersione suriettiva[1], cioè un'applicazione differenziabile suriettiva π : E → B {\displaystyle \pi \colon E\to B\,} tale che in ogni punto y ∈ E {\displaystyle y\in E} l'applicazione tangente T y π : T y E → T π ( y ) B {\displaystyle T_{y}\pi \colon T_{y}E\to T_{\pi (y)}B} sia suriettiva (equivalentemente il suo rango sia dim B).

Definizione

Una terna ( E , π , B ) , {\displaystyle (E,\pi ,B)\,,} dove E and B sono varietà differenziabili e π : E → B {\displaystyle \pi \colon E\to B\,} una sommersione suriettiva, si dice varietà fibrata.[2] E si dice spazio totale, B si dice base.

Esempi

  • Ogni fibrato vettoriale differenziabile risulta essere una varietà fibrata.
  • Ogni rivestimento differenziabile risulta essere una varietà fibrata con fibra discreta.
  • In generale, una varietà fibrata non risulta essere uno spazio fibrato differenziabile, poiché fibre differenti possono avere differenti topologie (cioè fibre differenti non sono necessariamente omeomorfe). Infatti, come esempio di questo fenomeno, basta considerare lo spazio fibrato banale ( S 1 × R 1 , p r 1 , S 1 ) , {\displaystyle ({\mathbb {S} ^{1}}\times {\mathbb {R} ^{1}},{\mathrm {pr} _{1}},{\mathbb {S} ^{1}})\,,} e rimuovere due punti da due differenti fibre sopra la base S 1 {\displaystyle {\mathbb {S} ^{1}}\,} . Si ottiene così una nuova varietà fibrata formata da uno spazio totale dove tutte le fibre sono connesse tranne due.

Note

  1. ^ (EN) I. Kolář, P. Michor, J. Slovák, Natural operators in differential geometry (PDF), Springer-Verlag, 1993, p. 11. URL consultato il 3 luglio 2013 (archiviato dall'url originale il 30 marzo 2017).
  2. ^ (EN) D. Krupka, J. Janyška, Lectures on differential invariants, Univerzita J. E. Purkyně V Brně, 1990, p. 47, ISBN 80-210-0165-8.

Bibliografia

  • (EN) I. Kolář, P. Michor, J. Slovák, Natural operators in differential geometry (PDF), Springer-Verlag, 1993. URL consultato il 4 gennaio 2020 (archiviato dall'url originale il 30 marzo 2017).
  • (EN) D. Krupka, J. Janyška, Lectures on differential invariants, Univerzita J. E. Purkyně V Brně, 1990, ISBN 80-210-0165-8.
  • (EN) D.J. Saunders, The geometry of jet bundles, Cambridge University Press, 1989, ISBN 0-521-36948-7.
  • (EN) R.W. Sharpe, Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program, Springer-Verlag, New York, 1997, ISBN 0-387-94732-9.

Voci correlate

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