Spazio paracompatto

In topologia, una branca della matematica, uno spazio paracompatto è una leggera generalizzazione del concetto di spazio compatto, cioè di uno spazio i cui punti sono "vicini" tra loro.

Definizione

Uno spazio topologico X {\displaystyle X} è paracompatto se ogni ricoprimento aperto F {\displaystyle {\mathcal {F}}} di X {\displaystyle X} ammette un raffinamento localmente finito, cioè se esiste un ricoprimento aperto G {\displaystyle {\mathcal {G}}} di X {\displaystyle X} tale che:

  • ogni G ∈ G {\displaystyle G\in {\mathcal {G}}} è contenuto in un elemento di F {\displaystyle {\mathcal {F}}} ;
  • ogni x ∈ X {\displaystyle x\in X} ammette un intorno U x {\displaystyle U_{x}} che interseca solo un numero finito di elementi di G {\displaystyle {\mathcal {G}}} .

In alcuni casi viene aggiunta anche la richiesta che X {\displaystyle X} sia uno spazio di Hausdorff.

Esempi

  • Ogni spazio compatto è paracompatto: infatti un sottoricoprimento è anche un raffinamento, e ogni sottoricoprimento finito è anche localmente finito.
  • Gli aperti e i chiusi di R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} sono paracompatti.
  • Ogni varietà topologica è paracompatta.
  • Più in generale, ogni spazio metrizzabile è paracompatto (teorema di Stone).
  • L'insieme dei numeri reali con la topologia del limite inferiore (la retta di Sorgenfrey) è paracompatto.
  • Ogni spazio di Lindelöf regolare è paracompatto.

Proprietà

  • Ogni spazio paracompatto di Hausdorff è normale (teorema di Dieudonné).
  • Ogni sottospazio chiuso di un paracompatto è paracompatto.
  • Il prodotto topologico di uno spazio paracompatto e di uno spazio compatto è paracompatto, ma non lo è necessariamente il prodotto di due paracompatti: un famoso controesempio è dato dal prodotto della retta di Sorgenfrey con sé stessa (il piano di Sorgenfrey).
  • L'essere uno spazio paracompatto è una condizione necessaria per l'esistenza delle partizioni dell'unità.

Bibliografia

  • (EN) Ryszard Engelking, General topology, Berlino, Heldermann, 1989, ISBN 3-88538-006-4.
  • Edoardo Sernesi, Geometria 2, Torino, Bollati Boringhieri, 1994, ISBN 978-88-339-5548-3.
  • (EN) Ernest Arthur Michael, Paracompact Spaces, in Klaas Pieter Hart, Jun-iti Nagata e Jerry E. Vaughan (a cura di), Encyclopedia of General Topology, Elsevier, 2003, ISBN 978-0-444-50355-8.

Voci correlate

Collegamenti esterni

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