Insieme localmente chiuso

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In matematica, un sottoinsieme S {\displaystyle S} di uno spazio topologico ( X , T ) {\displaystyle (X,\mathrm {T} )} si dice localmente chiuso se soddisfa le seguenti condizioni equivalenti:

  • S {\displaystyle S} è aperto nella sua chiusura;
  • S {\displaystyle S} è aperto in un chiuso di X {\displaystyle X} ;
  • S {\displaystyle S} è chiuso in un aperto di X {\displaystyle X} ;
  • per ogni punto x {\displaystyle x} di S {\displaystyle S} esiste un intorno aperto U {\displaystyle U} di x tale che S ∩ U {\displaystyle S\cap U} è chiuso in U {\displaystyle U} ;
  • S {\displaystyle S} è intersezione di un aperto e un chiuso di X {\displaystyle X} .

Osservazioni

Se S {\displaystyle S} è un sottoinsieme localmente chiuso di X {\displaystyle X} , allora l'insieme Ω = ( X ∖ S ¯ ) ∪ S {\displaystyle \Omega =(X\setminus {\bar {S}})\cup S} è il più grande aperto di X {\displaystyle X} in cui S {\displaystyle S} è chiuso. Infatti, se A {\displaystyle A} è un altro aperto in cui S {\displaystyle S} è chiuso risulta S = S ¯ ∩ A {\displaystyle S={\bar {S}}\cap A} e quindi Ω = ( X ∖ S ¯ ) ∪ ( S ¯ ∩ A ) = ( ( X ∖ S ¯ ) ∪ S ¯ ) ) ∩ ( ( X ∖ S ¯ ) ∪ A ) = ( X ∖ S ¯ ) ∪ A {\displaystyle \Omega =(X\setminus {\bar {S}})\cup ({\bar {S}}\cap A)=((X\setminus {\bar {S}})\cup {\bar {S}}))\cap ((X\setminus {\bar {S}})\cup A)=(X\setminus {\bar {S}})\cup A} per cui Ω {\displaystyle \Omega } è aperto e A ⊆ Ω {\displaystyle A\subseteq \Omega } .

Esempi

  • Nella retta reale, l'intervallo [0, 1) è localmente chiuso, in quanto intersezione dell'aperto (-a, 1) e del chiuso [0, 1+a] (con a>0).
  • Il sottoinsieme A = { ( x , y ) ∈ R 2 : y > 0 ,   x 2 + y 2 ≤ 1 } ∪ { ( x , y ) ∈ R 2 : y ≤ 0 ,   x 2 + y 2 < 1 } {\displaystyle A=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:y>0,\ x^{2}+y^{2}\leq 1\}\cup \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:y\leq 0,\ x^{2}+y^{2}<1\}} di R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} munito della usuale topologia euclidea è localmente chiuso.
  • Ogni sottovarietà differenziabile di R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} è uno spazio localmente chiuso.

Voci correlate

  • Insieme aperto
  • Insieme chiuso
  • Chiusura (topologia) di un insieme
  • Intorno topologico.


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