Schema simpliciale

Niente fonti!
Questa voce o sezione sull'argomento matematica non cita le fonti necessarie o quelle presenti sono insufficienti.

In matematica, uno schema simpliciale è un oggetto definito usando la teoria degli insiemi, usato soprattutto per modellizzare in modo astratto e combinatorio uno spazio topologico. Lo spazio topologico che modellizza è un complesso simpliciale.

Definizione

Uno schema simpliciale è una coppia ( I , K ) {\displaystyle (I,K)} dove I {\displaystyle I} è un insieme i cui elementi sono detti vertici, e K {\displaystyle K} è una famiglia di sottoinsiemi di I {\displaystyle I} che soddisfa le proprietà seguenti:

  1. K {\displaystyle K} contiene tutti gli insiemi formati da un solo elemento,
  2. Se un insieme appartiene a K {\displaystyle K} allora tutti i suoi sottoinsiemi appartengono a K {\displaystyle K} .

Le due condizioni possono essere espresse anche nel modo seguente.

  1. { i } ∈ K   ∀ i ∈ I , {\displaystyle \{i\}\in K\ \forall i\in I,}
  2. s ∈ K , t ⊂ s ⇒ t ∈ K . {\displaystyle s\in K,t\subset s\Rightarrow t\in K.}

Gli elementi di K {\displaystyle K} sono detti simplessi. La dimensione di un simplesso è la sua cardinalità meno uno.

Complesso simpliciale associato

A partire da uno schema simplicale è possibile costruire un complesso simpliciale, che è a sua volta uno spazio topologico. Il complesso simpliciale è costruito rappresentando ogni simplesso di dimensione k {\displaystyle k} come un simplesso geometrico della stessa dimensione, definito come l'insieme

Δ k = { ( x 0 , … , x k ) ∈ R k + 1   |   x 0 + … + x k = 1 , x i ⩾ 0 ∀ i } . {\displaystyle \Delta _{k}=\{(x_{0},\ldots ,x_{k})\in \mathbb {R} ^{k+1}\ |\ x_{0}+\ldots +x_{k}=1,x_{i}\geqslant 0\,\forall i\}.}

E identificando i vari simplessi secondo le prescrizioni date dalle relazioni insiemistiche degli elementi di K {\displaystyle K} .

Voci correlate

  • Complesso simpliciale
  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica