Chirurgia di Dehn

In matematica, e più precisamente nella topologia della dimensione bassa, la chirurgia di Dehn è un'operazione che permette la trasformazione di una 3-varietà in un'altra 3-varietà. La trasformazione consiste nella rimozione di un toro solido dal suo interno, e nel suo successivo reincollamento, con una mappa che può essere diversa da quella originaria.

La seconda operazione (di reincollamento) può essere effettuata autonomamente e ha il nome di riempimento di Dehn.

Definizioni

Riempimento di Dehn

Sia M {\displaystyle M} una 3-varietà con bordo, il cui bordo contiene un toro T {\displaystyle T} . Un riempimento di Dehn è l'operazione di incollamento di M {\displaystyle M} e di un toro solido S {\displaystyle S} lungo i bordi T {\displaystyle T} e ∂ S {\displaystyle \partial S} .

Più precisamente, l'incollamento è determinato da un omeomorfismo

ϕ : T → ∂ S {\displaystyle \phi :T\to \partial S}

fra i due tori. Questo determina lo spazio quoziente

N = ( M ∪ S ) / ∼ {\displaystyle N=(M\cup S)/_{\sim }}

dove ∼ {\displaystyle \sim } è la relazione di equivalenza indotta da ϕ {\displaystyle \phi } , che identifica ogni punto x {\displaystyle x} di T {\displaystyle T} con il punto ϕ ( x ) {\displaystyle \phi (x)} di ∂ S {\displaystyle \partial S} . Lo spazio quoziente N {\displaystyle N} risulta essere una 3-varietà.

Chirurgia di Dehn

La chirurgia di Dehn è un'operazione che consta di due passaggi. Sia M {\displaystyle M} una 3-varietà orientabile e K {\displaystyle K} un nodo contenuto nell'interno di M {\displaystyle M} . Il primo passaggio consiste nella rimozione di un piccolo intorno tubolare aperto del nodo K {\displaystyle K} da M {\displaystyle M} . Poiché M {\displaystyle M} è orientabile, l'intorno tubolare è omeomorfo ad un toro solido, e la varietà M ′ {\displaystyle M'} risultante dalla rimozione ha una nuova componente di bordo T {\displaystyle T} , data dal bordo di questo toro solido, omeomorfa ad un toro.

La seconda operazione consiste in un riempimento di Dehn della nuova componente di bordo T {\displaystyle T} . Entrambe le operazioni possono essere sintetizzate dicendo che un toro solido viene rimosso da M {\displaystyle M} , e quindi reincollato. Poiché il modo in cui viene reincollato dipende fortemente dalla scelta della mappa ϕ {\displaystyle \phi } , la varietà che ne risulta può essere molto differente da quella iniziale.

Bibliografia

  • (EN) Anatolij Fomenko, Sergej Matveev, Algorithmic and computer methods for three-manifolds, Dordrecht (Paesi Bassi), Kluwer, 1997.
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