Dimensione topologica

In matematica, la dimensione topologica o di Lebesgue è una nozione di dimensione che si applica a qualsiasi spazio topologico.

Come la dimensione di Hausdorff, la dimensione topologica dello spazio euclideo R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} è n {\displaystyle n} . Le due nozioni di dimensione però differiscono per spazi più complicati, come i frattali.

Definizione

Sia X {\displaystyle X} uno spazio topologico. Un ricoprimento aperto { U i } {\displaystyle \{U_{i}\}} di X {\displaystyle X} è una collezione di aperti U i {\displaystyle U_{i}} di X {\displaystyle X} la cui unione è tutto X {\displaystyle X} . Un suo raffinamento è un altro ricoprimento aperto { V j } {\displaystyle \lbrace V_{j}\rbrace } tale che ogni V j {\displaystyle V_{j}} è contenuto in almeno un U i {\displaystyle U_{i}} .

La dimensione topologica di X {\displaystyle X} è il più piccolo intero n {\displaystyle n} per cui ogni ricoprimento aperto di X {\displaystyle X} ha un raffinamento in cui ogni punto è contenuto in al più n + 1 {\displaystyle n+1} insiemi.

Esempi

Retta reale

Sia { U i } {\displaystyle \{U_{i}\}} un ricoprimento arbitrario della retta reale R {\displaystyle \mathbb {R} } . Ciascun U i {\displaystyle U_{i}} è un aperto ed è quindi unione di intervalli aperti. Si può sempre trovare un raffinamento V j {\displaystyle V_{j}} fatto solo di intervalli aperti. Si può inoltre raffinare ulteriormente questo ricoprimento e fare in modo che questi intervalli si sovrappongano meno possibile, e cioè che tre intervalli non si intersechino mai. Da questa costruzione segue che la retta ha dimensione minore o uguale a 1. {\displaystyle 1.} D'altra parte, la retta è connessa e quindi non può essere descritta come unione disgiunta di piccoli intervalli: non ha cioè dimensione zero. La retta ha quindi dimensione topologica 1. {\displaystyle 1.}

Spazi euclidei

Più in generale, lo spazio R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} ha dimensione topologica n {\displaystyle n} . La nozioni di dimensione di Hamel, topologica e di Hausdorff quindi coincidono per gli spazi vettoriali reali.

Grafi

Un grafo avente un numero finito di vertici e spigoli ha dimensione topologica 1. {\displaystyle 1.}

Frattali

Una approssimanzione della spugna di Menger, un frattale avente dimensione topologica uno.

L'insieme di Cantor ha dimensione topologica zero. Ha però dimensione di Hausdorff positiva, pari a ln ⁡ 2 / ln ⁡ 3 {\displaystyle \ln 2/\ln 3} .

La spugna di Menger ha dimensione topologica uno. La spugna è una curva universale: ogni spazio metrico compatto di dimensione topologica 1 è contenuto in essa.

Bibliografia

  • Karl Menger, General Spaces and Cartesian Spaces, (1926) Communications to the Amsterdam Academy of Sciences. English translation reprinted in Classics on Fractals, Gerald A.Edgar, editor, Addison-Wesley (1993) ISBN 0-201-58701-7
  • Karl Menger, Dimensionstheorie, (1928) B.G Teubner Publishers, Leipzig.
  • A. R. Pears, Dimension Theory of General Spaces, (1975) Cambridge University Press. ISBN 0-521-20515-8
  • V.V. Fedorchuk, The Fundamentals of Dimension Theory, appearing in Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Volume 17, General Topology I, (1993) A. V. Arkhangel'skii and L. S. Pontryagin (Eds.), Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-18178-4.

Voci correlate

  • Dimensione di Hausdorff
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