Topologia banale

Uno spazio topologico X ha la topologia banale quando gli unici aperti di X sono l'insieme vuoto e X stesso.

La topologia banale è la meno fine fra tutte le topologie che possono essere assegnate ad un insieme. All'estremo opposto, la topologia discreta è la più fine di tutte.

Un simile spazio è caratterizzato da una pseudometrica del tipo:

d ( x , y ) = 0 ∀ x , y ∈ X {\displaystyle d(x,y)=0\quad \forall x,y\in X}

Proprietà

  • Un insieme con topologia banale contenente almeno due punti non soddisfa nessuno degli assiomi di separazione.
  • Le uniche funzioni continue da uno spazio con topologia banale a valori in un qualsiasi spazio topologico sono quelle costanti.
  • Tutte le funzioni a valori in uno spazio con topologia banale sono continue.
  • Uno spazio con topologia banale è connesso e compatto.
  • Uno spazio con topologia banale è omogeneo: i punti sono indistinguibili.
  • Gli spazi con topologia banale a meno di omeomorfismo sono classificati dalla loro cardinalità.

Bibliografia

  • Edoardo Sernesi, Geometria 2, Torino, Bollati Boringhieri, 1994, ISBN 978-88-339-5548-3.

Voci correlate

  • Topologia discreta
  • Cardinalità
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