Assioma di separazione

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Uno spazio topologico è un oggetto matematico molto generico, che può modellizzare tutti gli oggetti contenuti nello spazio euclideo, gli spazi metrici, e la maggior parte degli spazi di funzioni. Molti teoremi sugli spazi topologici necessitano di alcune ipotesi minime, che sono soddisfatte negli spazi metrici o euclidei. Queste ipotesi sono gli assiomi di separazione: questi chiedono generalmente che la topologia sia sufficientemente ricca da distinguere punti ed eventualmente chiusi disgiunti.

Assiomi

I principali assiomi di separazione sono indicati con la lettera "T" seguita da un numero progressivo. La lettera "T" viene dal tedesco "Trennung", che vuol dire proprio separazione.

Sia X uno spazio topologico. La lista di assiomi è la seguente.

  • X è T0 se per ogni coppia di punti x e y di X esiste un aperto U che contiene x e non contiene y, o viceversa (in altre parole, la topologia distingue i punti).
  • X è T1 se per ogni coppia di punti x e y di X esistono due aperti U e V tali che U contiene x e non y, mentre V contiene y e non x (equivalentemente: i punti sono chiusi).
  • X è T2 o di Hausdorff se per ogni coppia di punti x e y di X esistono due aperti U e V disgiunti che li contengono, rispettivamente.
  • X è regolare se per ogni punto x e chiuso F disgiunti esistono due aperti U e V disgiunti che li contengono, rispettivamente.
  • X è T3 se è T1 e regolare (implica T2).
  • X è completamente regolare se per ogni punto x e chiuso F disgiunti esiste una funzione continua a valori reali che vale 0 su F e 1 su x (implica la regolarità).
  • X è T3½ se è T0 e completamente regolare (implica T3).
  • X è normale se per ogni coppia di chiusi disgiunti F e G esistono due aperti disgiunti U e V che li contengono rispettivamente (implica la completa regolarità[1]).
  • X è T4 se è T1 e normale (implica T3½[2]).

L'ipotesi che lo spazio sia T0 nelle definizioni di T3½ e T1 in quella di T3 e T4 fa sì che ciascuno di questi assiomi sia un raffinamento dei precedenti.

Esempi

  • Ogni spazio metrico è di Hausdorff e regolare, quindi T3.
  • Uno spazio topologico con la topologia banale è T0 solo se consta di un punto solo.
  • La retta avente come aperti tutte le semirette x>d al variare di d fra i numeri reali è T0 ma non T1.
  • La topologia cofinita su un insieme infinito di punti è T1 ma non T2.
  • La topologia di Zariski, di fondamentale importanza in geometria algebrica, generalmente non è T2.

Note

  1. ^ La dimostrazione è immediata conseguenza della profonda proprietà del Lemma di Urysohn, di non facile dimostrazione.
  2. ^ Per la dimostrazione di quest'ultimo fatto, vale quanto già detto per gli spazi normali.

Voci correlate

Collegamenti esterni

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