Spazio totalmente limitato

In matematica, uno spazio metrico si definisce totalmente limitato se, fissato un raggio arbitrario, è possibile ricoprirlo con un numero finito di palle di quel raggio.

Definizione

Uno spazio metrico $S$ si dice totalmente limitato se per ogni raggio $\varepsilon >0$ esiste una collezione finita di palle $B_{\varepsilon }^{1},\,B_{\varepsilon }^{2},\,\ldots ,\,B_{\varepsilon }^{n}$ tali che:

S\subseteq \bigcup _{i=1}^{n}B_{\varepsilon }^{i}

Spazi limitati e totalmente limitati

La nozione di spazio totalmente limitato è molto simile a quella di spazio limitato, ma è in realtà più forte: è infatti facile dimostrare che ogni spazio totalmente limitato è limitato^[1]. D'altro canto, esistono esempi di insiemi limitati che non sono totalmente limitati; ad esempio, considerando il piano $\mathbb {R} ^{2}$ con la metrica discreta:

{\begin{matrix}d:\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}&\rightarrow &\mathbb {R} ^{+}\\(P_{1},P_{2})&\mapsto &\left\{{\begin{matrix}0&(P_{1}=P_{2})\\1&(P_{1}\neq P_{2})\end{matrix}}\right.\end{matrix}}

si ha che per qualunque raggio $\varepsilon <1$ , occorrono infinite palle per ricoprire il piano, in quanto ogni punto dista 1 da tutti gli altri punti. Esistono tuttavia molti casi in cui le due nozioni coincidono, ad esempio uno spazio euclideo è totalmente limitato se e solo se è limitato.

Relazioni con gli spazi compatti

Lo stesso argomento in dettaglio: Spazio compatto.

Uno spazio metrico è compatto se e solo se è completo e totalmente limitato. Questa proprietà è una estensione del teorema di Heine-Borel, che caratterizza gli spazi euclidei compatti. È inoltre possibile dimostrare che uno spazio è totalmente limitato se e solo se lo è il suo completamento; sugli spazi euclidei questo equivale a dire che uno spazio è limitato se e solo se lo è la sua chiusura. Dalle due precedenti proprietà segue che uno spazio è totalmente limitato se e solo se il suo completamento è compatto: quest'ultima caratterizzazione può venire considerata come definizione di spazio totalmente limitato.

Estensioni a spazi topologici

La definizione sopra data può essere estesa anche a spazi non dotati di una distanza, ma di una più generica struttura di spazio topologico.

Un sottoinsieme $S\subseteq X$ di uno spazio vettoriale topologico o un gruppo abeliano topologico è detto totalmente limitato se, per ogni intorno $E\$ dell'elemento neutro $0\in X$ , esiste un ricoprimento finito formato da traslazioni di sottoinsiemi di $E\$ . Definire l'intorno $E\$ equivale a fissare la "dimensione" degli insiemi che formano il ricoprimento, "dimensione" che non è alterata traslando l'insieme stesso. In simboli si può scrivere:

\forall E\subseteq S:\,0\in E,\,\exists x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}\in X:\,S\subseteq \bigcup _{i=1}^{n}\left(E+x_{i}\right)

Se $X\$ non è abeliano, è possibile definire due nozioni separate di spazio totalmente limitato a sinistra o a destra, sostituendo nella definizione sopra $E+x_{i}$ rispettivamente con le traslazioni sinistre e destre $x_{i}E$ e $Ex_{i}$ .

Infine è possibile estendere la definizione per qualunque struttura che possieda la definizione di compattezza e completezza, usando la caratterizzazione definita nel paragrafo precedente e definendo pertanto gli spazi totalmente limitati come spazi il cui completamento è compatto. Se vale l'assioma della scelta, questa definizione è anche equivalente a quella di spazio precompatto.

Note

^ È sufficiente considerare una sfera di raggio $\varepsilon n$ , che contenga ogni singola sfera del ricoprimento

Bibliografia

(EN) Willard, Stephen, General Topology, Dover Publications, 2004, ISBN 0-486-43479-6.
(EN) Sutherland, W.A., Introduction to metric and topological spaces, Oxford University Press, 1975, ISBN 0-19-853161-3, Zbl 0304.54002.