Topologia iniziale

In matematica, in particolare in topologia generale, la topologia iniziale su un insieme rispetto ad una famiglia di funzioni definite sull'insieme, anche detta topologia debole, topologia limite o topologia proiettiva, è la topologia meno fine tale per cui le funzioni della famiglia sono continue.[1]

Negli spazi vettoriali topologici, come gli spazi normati, solitamente la topologia iniziale è detta "topologia debole", e si tratta della topologia iniziale rispetto ai funzionali dello spazio duale.

La topologia di sottospazio e la topologia prodotto sono casi speciali di topologie iniziali. La struttura duale alla topologia iniziale è detta topologia finale.

Definizione

Sia dato un insieme X {\displaystyle X} ed una famiglia ( Y i ) i ∈ I {\displaystyle (Y_{i})_{i\in I}} di spazi topologici. Si consideri una famiglia di funzioni f i : X → Y i {\displaystyle f_{i}:X\to Y_{i}} che ha per dominio l'insieme X {\displaystyle X} . Si definisce topologia iniziale τ {\displaystyle \tau } su X {\displaystyle X} rispetto alla famiglia di funzioni la topologia meno fine tale per cui le funzioni f i : ( X , τ ) → Y i {\displaystyle f_{i}:(X,\tau )\to Y_{i}} sono continue.[1]

La topologia iniziale può essere vista come la topologia generata dagli insiemi della forma f i − 1 ( U ) {\displaystyle f_{i}^{-1}(U)} , dove U {\displaystyle U} è un insieme aperto di Y i {\displaystyle Y_{i}} .

Proprietà

Characteristic property of the initial topology
Characteristic property of the initial topology

La topologia iniziale su X {\displaystyle X} può essere caratterizzata dalla seguente proprietà: una funzione g : Z → X {\displaystyle g:Z\to X} è continua se e solo se f i ∘ g {\displaystyle f_{i}\circ g} è continua per ogni i ∈ I {\displaystyle i\in I} .

Per la proprietà della topologia prodotto ogni famiglia di funzioni continue f i : X → Y i {\displaystyle f_{i}:X\to Y_{i}} definisce un'unica mappa:

f : X → ∏ i Y i {\displaystyle f\colon X\to \prod _{i}Y_{i}\,}

detta in inglese evaluation map. Si dice che una famiglia di funzioni { f i : X → Y i } {\displaystyle \{f_{i}:X\to Y_{i}\}} separa i punti in X {\displaystyle X} se per ogni x ≠ y ∈ X {\displaystyle x\neq y\in X} esiste un indice i tale che f i ( x ) ≠ f i ( y ) {\displaystyle f_{i}(x)\neq f_{i}(y)} . Questo avviene se e solo se f {\displaystyle f} è iniettiva. La funzione f {\displaystyle f} è un'immersione topologica se e solo se X {\displaystyle X} ha la topologia iniziale definita dalle funzioni { f i } {\displaystyle \{f_{i}\}} , e tale famiglia di mappe separa i punti in X {\displaystyle X} .

Se in uno spazio X {\displaystyle X} è definita una topologia è spesso utile sapere se si tratta della topologia iniziale indotta da qualche famiglia di funzioni su X {\displaystyle X} . Una famiglia di funzioni { f i : X → Y i } {\displaystyle \{f_{i}:X\to Y_{i}\}} separa i punti dai chiusi in X {\displaystyle X} se per ogni insieme chiuso A ⊂ X {\displaystyle A\subset X} e per ogni x {\displaystyle x} che non appartiene ad A {\displaystyle A} esiste un indice i tale per cui:

f i ( x ) ∉ cl ⁡ ( f i ( A ) ) {\displaystyle f_{i}(x)\notin \operatorname {cl} (f_{i}(A))}

dove cl {\displaystyle \operatorname {cl} } è l'operatore di chiusura.

In particolare, si dimostra che una famiglia di mappe continue { f i : X → Y i } {\displaystyle \{f_{i}:X\to Y_{i}\}} separa i punti dai chiusi se e solo se gli insiemi f i − 1 ( U ) {\displaystyle f_{i}^{-1}(U)} , con U ⊂ Y i {\displaystyle U\subset Y_{i}} aperto, formano una base per la topologia su X {\displaystyle X} . Segue che se { f i } {\displaystyle \{f_{i}\}} separano i punti dai chiusi allora lo spazio X {\displaystyle X} ha la topologia iniziale indotta da tali funzioni. La relazione inversa non è valida, poiché in generale gli insiemi f i − 1 ( U ) {\displaystyle f_{i}^{-1}(U)} formano una sottobase per la topologia iniziale.

Se X {\displaystyle X} è uno spazio T0 allora ogni collezione di mappe { f i } {\displaystyle \{f_{i}\}} che separa i punti dai chiusi in X {\displaystyle X} deve anche separare i punti. In tal caso, l'evaluation map è un'immersione.

Topologia debole in spazi vettoriali topologici

Sia K {\displaystyle K} un campo topologico, ovvero un campo con una topologia tale per cui l'addizione, la divisione e la moltiplicazione sono funzioni continue (nella definizione topologica di continuità). Sia X {\displaystyle X} uno spazio vettoriale topologico su K {\displaystyle K} , ovvero uno spazio vettoriale su K {\displaystyle K} con una topologia tale per cui la somma vettoriale e la moltiplicazione per scalare sono continue.

Si possono definire diverse topologie su X {\displaystyle X} utilizzando lo spazio duale continuo X ∗ {\displaystyle X^{*}} , composto da tutti i funzionali lineari su X {\displaystyle X} (a valori in K {\displaystyle K} ) continui rispetto alla topologia data. La topologia debole su X {\displaystyle X} è la topologia iniziale rispetto a X ∗ {\displaystyle X^{*}} . Si tratta della topologia più grezza tale per cui ogni funzionale di X* è una funzione continua.

Note

  1. ^ a b Reed, Simon, Pag. 111.

Bibliografia

  • (EN) Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.
  • (EN) Stephen Willard, General Topology, Reading, Massachusetts, Addison-Wesley, 1970, ISBN 0-486-43479-6, (Dover edition).

Voci correlate

Collegamenti esterni

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