Somma connessa

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La somma connessa è un'operazione eseguita in matematica, e più precisamente in geometria, per creare una nuova varietà a partire da due varietà date. Le varietà date sono topologiche o differenziabili.

In modo analogo è definita anche la somma connessa fra nodi, un'operazione che costruisce un nodo a partire da due nodi dati.

A dispetto del nome scelto, le operazioni di somma connessa hanno spesso delle analogie con l'operazione di moltiplicazione fra numeri interi. In particolare, per le varietà di dimensione 2 e 3, e per i nodi, vi sono dei teoremi che, analogamente a quanto enunciato nel teorema fondamentale dell'aritmetica, sostengono che ogni varietà/nodo si ottiene in modo unico come somma connessa di alcune varietà indecomponibili, chiamate prime in analogia con i numeri primi. Non esistono però teoremi di questo tipo in dimensione 4 o superiore.

Somma connessa fra varietà

Definizione

Siano ${\displaystyle M}$ e ${\displaystyle N}$ due varietà topologiche della stessa dimensione ${\displaystyle n}$. Siano ${\displaystyle B_{M}}$ e ${\displaystyle B_{N}}$ due aperti rispettivamente in ${\displaystyle M}$ e ${\displaystyle N}$, le cui chiusure sono entrambe omeomorfe al disco chiuso ${\displaystyle n}$-dimensionale

${\displaystyle D^{n}=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\ |\ |x|\leqslant 1\}.}$

Quindi ${\displaystyle B_{M}}$e ${\displaystyle B_{N}}$ sono entrambe omeomorfe alla palla aperta

${\displaystyle B^{n}=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\ |\ |x|<1\}}$

e il loro bordo è omeomorfo alla sfera ${\displaystyle (n-1)}$-dimensionale

${\displaystyle S^{n-1}=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\ |\ |x|=1\}.}$

Sia quindi ${\displaystyle \psi }$ un fissato omeomorfismo

${\displaystyle \psi :\partial B_{N}\to \partial B_{M}.}$

La somma connessa di ${\displaystyle M}$ e ${\displaystyle N}$ è quindi definita come lo spazio che si ottiene rimuovendo le due palle aperte da ${\displaystyle M}$ e ${\displaystyle N}$ e incollando successivamente i nuovi bordi sferici tramite la mappa ${\displaystyle \psi }$. Questo nuovo spazio viene indicato con ${\displaystyle M}$#${\displaystyle N}$ ed è anch'esso una varietà ${\displaystyle n}$-dimensionale. Formalmente:

${\displaystyle M\#N={\frac {(M-B_{M})\sqcup (N-B_{N})}{\sim }}}$

dove ${\displaystyle \sim }$ è la relazione di equivalenza che identifica ogni ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle \partial B_{M}}$ con l'immagine ${\displaystyle \psi (x)}$ in ${\displaystyle B_{N}}$.

Dipendenza dalle scelte fatte

La varietà ottenuta ${\displaystyle M}$#${\displaystyle N}$ dipende dalla scelta degli aperti ${\displaystyle B_{M},B_{N}}$ e dall'omeomorfismo ${\displaystyle \psi }$. Se però le varietà ${\displaystyle M,N}$ sono differenziabili, e ogni omeomorfismo nella definizione è in verità un diffeomorfismo, la scelta degli aperti non influisce nel risultato.

D'altro canto, se l'omeomorfismo ${\displaystyle \psi }$ è sostituito con un altro omeomorfismo ${\displaystyle \psi '}$ omotopo a ${\displaystyle \psi }$ il risultato non cambia. A meno di omotopia, vi sono solo 2 omeomorfismi di ${\displaystyle S^{n-1}}$ in sé: quello che mantiene l'orientazione della sfera e quello che la inverte. Quindi ci sono solo due possibili risultati.

Quindi se le varietà sono differenziabili la somma connessa ${\displaystyle M}$#${\displaystyle N}$ dipende soltanto dall'orientazione della mappa d'incollamento ${\displaystyle \psi }$. In alcuni casi (ad esempio, per le superfici), anche l'orientazione della mappa è ininfluente.

Per molte varietà di dimensione maggiore l'orientazione della mappa è però determinante, e generalmente si adotta un piccolo "trucco" per eliminare anche quest'ultimo fattore di arbitrarietà. Innanzitutto, questo può essere presente solo se entrambe ${\displaystyle M}$e ${\displaystyle N}$ sono orientabili. Al fine di scegliere a priori uno dei due incollamenti, in questo caso si suppone che ${\displaystyle M}$e ${\displaystyle N}$ siano orientate: l'orientazione delle varietà induce un'orientazione nelle sfere che andranno identificate, e nell'operazione si decide di incollare queste tramite una mappa che inverta l'orientazione, in modo da ottenere una nuova varietà orientata ${\displaystyle M}$#${\displaystyle N}$ in modo concorde alle orientazioni precedenti.

Proprietà

La somma connessa per varietà differenziabili si comporta in modo simile alla moltiplicazione fra numeri interi, e questa similitudine è più marcata nelle dimensioni 2 e 3.

Dimensione qualsiasi

In qualsiasi dimensione ${\displaystyle n}$, l'operazione di somma connessa è commutativa e associativa. Inoltre la sfera ${\displaystyle S^{n}}$ è un elemento neutro per l'operazione #:

${\displaystyle M\#S^{n}=S^{n}\#M=M.}$

Infatti effettuare una somma connessa con una sfera equivale a togliere un aperto omeomorfo a una palla, e reinserirne un altro, lasciando quindi invariata la varietà.

Dimensioni 2 e 3

In dimensione 2 e 3 l'analogia con i numeri interi si spinge oltre: esiste infatti un analogo del teorema fondamentale dell'aritmetica, che asserisce che ogni numero intero si fattorizza in modo unico come prodotto di numeri primi. Una varietà differenziabile ${\displaystyle M}$ è prima se non è ottenibile come somma connessa

${\displaystyle M=N\#N'}$

dove entrambi i fattori ${\displaystyle N}$ e ${\displaystyle N'}$ sono diversi da ${\displaystyle S^{n}}$. La classificazione delle superfici e il teorema di Kneser-Milnor sostengono rispettivamente che ogni 2- o 3-varietà ${\displaystyle M}$ orientabile compatta è ottenibile in modo unico come prodotto di varietà prime:

${\displaystyle M=N_{1}\#N_{2}\#\ldots \#M_{k}.}$

In dimensione 2, le varietà prime orientabili e compatte sono la sfera e il toro. In dimensione 3, le 3-varietà prime sono infinite e non sono ancora state classificate in modo soddisfacente. Non esiste un teorema analogo per le varietà di dimensione 4 o superiore.

Somma connessa al bordo

Esiste una versione di somma connessa al bordo per varietà con bordo ${\displaystyle M}$ e ${\displaystyle M'}$ della stessa dimensione ${\displaystyle n}$. Consiste nello scegliere due dischi ${\displaystyle (n-1)}$-dimensionali

${\displaystyle D\subset \partial M,\quad D'\subset \partial M'}$

e nell'incollarli tramite un omeomorfismo ${\displaystyle f:D\to D'}$.

Il risultato è una nuova varietà con bordo, che dipende soltanto dalle componenti connesse di ${\displaystyle \partial M}$ e ${\displaystyle \partial M'}$ contenenti i dischi. Ad esempio, un corpo con manici è ottenuto tramite somma connessa al bordo di più tori solidi.

Somma connessa fra nodi

Definizione

La somma connessa fra nodi è un'operazione analoga, che presenta alcune analogie con la somma connessa fra varietà. Consiste nella costruzione di un nodo a partire da due nodi dati, come mostrato nell'esempio in figura.

Come per le varietà, questa operazione non dipende dal tipo di diagramma scelto per rappresentare i nodi, né dalla "striscia" scelta su cui operare la somma connessa. La somma connessa di due nodi ${\displaystyle K}$ e ${\displaystyle H}$ si indica con ${\displaystyle K}$#${\displaystyle H}$.

Proprietà

L'operazione di somma connessa è commutativa e associativa. Il nodo banale ${\displaystyle O}$ è l'elemento neutro dell'operazione, ovvero

${\displaystyle O\#K=K\#O=K}$

per ogni altro nodo ${\displaystyle K}$. Come per le 2- e 3-varietà, esiste un Teorema di fattorizzazione in nodi primi. Un nodo ${\displaystyle K}$ è primo se non è ottenibile come somma connessa

${\displaystyle K=K'\#K''}$

di due nodi non banali. Il teorema di fattorizzazione asserisce che ogni nodo ${\displaystyle K}$ è ottenibile in modo unico come somma connessa di numeri primi

${\displaystyle K=K_{1}\#\ldots K_{h}.}$

Come i numeri primi, i nodi primi sono quindi i "mattoni" della teoria dei nodi, ed è a loro che è rivolta generalmente maggiore attenzione.

Voci correlate

• Nodo (matematica)
• Nodo primo
• 3-varietà
• 3-varietà prima
• Teorema di Kneser-Milnor

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