Punto di aderenza

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In topologia generale, un punto x {\displaystyle x} è un punto di aderenza ad un sottospazio di uno spazio topologico se è possibile trovare punti di questo sottospazio "arbitrariamente vicini" ad x {\displaystyle x} . Si tratta di una nozione meno restrittiva di quella di punto di accumulazione.

Definizione

Un punto a {\displaystyle a} è aderente ad A {\displaystyle A} se e solo se, comunque si prenda un intorno dell'elemento a {\displaystyle a} , l'intersezione dell'intorno con l'insieme A {\displaystyle A} è sempre non vuota.

Ovvero, a {\displaystyle a} è un punto di aderenza per A {\displaystyle A} se e solo se a {\displaystyle a} è un punto di accumulazione per A {\displaystyle A} o è un punto isolato di A {\displaystyle A} .

Spazi topologici

Un punto x 0 {\displaystyle x_{0}} appartenente ad uno spazio topologico ( X , T ) {\displaystyle (X,T)} è detto punto di aderenza (o punto di chiusura) per un sottoinsieme S {\displaystyle S} di X {\displaystyle X} se ogni aperto contenente x 0 {\displaystyle x_{0}} interseca S {\displaystyle S} . In simboli:

∀ A ∈ T , x 0 ∈ A : A ∩ S ≠ ∅ . {\displaystyle \forall A\in T,x_{0}\in A:A\cap S\not =\varnothing .}

Spazi metrici

In uno spazio metrico, se si considera la topologia naturalmente indotta dalla metrica, la definizione è equivalente alla richiesta seguente.

∀ r > 0 : B ( x 0 , r ) ∩ S ≠ ∅ , {\displaystyle \forall r>0:B(x_{0},r)\cap S\not =\varnothing ,}

dove con B ( x 0 , r ) {\displaystyle B(x_{0},r)} si indica la palla di raggio r {\displaystyle r} e centro x 0 {\displaystyle x_{0}} . Non ne consegue (come nel caso dei punti di accumulazione) che in ogni palla vi siano infiniti punti di S {\displaystyle S} .

Differenza con i punti di accumulazione

Tutti i punti di accumulazione di S {\displaystyle S} sono anche aderenti ma non è valido il viceversa. Non è richiesto infatti che ogni intorno di x 0 {\displaystyle x_{0}} intersechi S {\displaystyle S} in punti diversi da x 0 {\displaystyle x_{0}} . L'intersezione non vuota può essere garantita dallo stesso punto, purché appartenente a S {\displaystyle S} .

Ne consegue che tutti i punti di S {\displaystyle S} sono aderenti in S {\displaystyle S} , anche quando non sono di accumulazione. In tale ultimo caso si parla di punti isolati.

Chiusura di un insieme

L'insieme dei punti di aderenza di S {\displaystyle S} è detto chiusura (o aderenza) di S {\displaystyle S} .

Voci correlate

  • Punto di accumulazione
  • Punto isolato
  • Chiusura (topologia)
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