Spazio omogeneo

In geometria, uno spazio omogeneo è uno spazio i cui punti sono indistinguibili. La nozione si basa sul concetto di omogeneità, applicato in fisica ad esempio ad un corpo o all'intero universo.

In matematica questa nozione è resa formalmente dalla presenza di un gruppo che agisce sullo spazio in modo transitivo.

Definizione

Definizione generale

Uno spazio omogeneo è una tripla ( X , G , ρ ) {\displaystyle (X,G,\rho )} formata da un insieme X {\displaystyle X} , un gruppo G {\displaystyle G} e un'azione

ρ : G → A u t ( X ) {\displaystyle \rho \colon G\to {\rm {Aut}}(X)}

che associa ad un elemento g {\displaystyle g} del gruppo un automorfismo (cioè una biezione o equivalentemente una permutazione) ρ ( g ) {\displaystyle \rho (g)} di X {\displaystyle X} . L'azione deve essere transitiva: per ogni coppia x , y {\displaystyle x,y} di elementi di X {\displaystyle X} deve esistere almeno un elemento g {\displaystyle g} tale che ρ ( g ) ( x ) = y {\displaystyle \rho (g)(x)=y} .

Strutture

Se l'insieme X {\displaystyle X} è dotato di una struttura, generalmente si suppone che gli automorfismi in A u t ( X ) {\displaystyle {\rm {Aut}}(X)} preservino questa struttura. Ad esempio:

  • Se X {\displaystyle X} è uno spazio topologico, gli automorfismi sono omeomorfismi,
  • Se X {\displaystyle X} è una varietà differenziabile, gli automorfismi sono diffeomorfismi,
  • Se X {\displaystyle X} è una varietà riemanniana o un più generale spazio metrico, gli automorfismi sono isometrie.

Proprietà

Poiché per ogni coppia di punti x {\displaystyle x} e y {\displaystyle y} esiste un automorfismo che manda x {\displaystyle x} in y {\displaystyle y} , i punti di X {\displaystyle X} sono indistinguibili dalla struttura. Ad esempio, la circonferenza X {\displaystyle X} , con il gruppo G {\displaystyle G} delle rotazioni, è uno spazio omogeneo, perché tramite un'opportuna rotazione è possibile spostare qualsiasi punto x {\displaystyle x} in un punto dato y {\displaystyle y} . D'altra parte, il quadrato con il gruppo delle rotazioni non è omogeneo, perché non è possibile con una rotazione spostare ad esempio un vertice all'interno di un lato.

Esempi

Spazi a curvatura costante

La sfera S n {\displaystyle S^{n}} di dimensione n {\displaystyle n} è uno spazio omogeneo con il gruppo ortogonale G = O ( n + 1 ) {\displaystyle G=O(n+1)} : tale gruppo agisce su R n + 1 {\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}} preservando la lunghezza dei vettori, e quindi agisce sulla sfera. L'azione è effettivamente transitiva.

Lo spazio euclideo R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} è uno spazio omogeneo con il gruppo delle traslazioni: tramite opportuna traslazione si può infatti spostare un punto in un qualsiasi altro punto dello spazio.

Lo spazio iperbolico H n {\displaystyle \mathbb {H} ^{n}} è omogeneo con il suo gruppo delle isometrie.

Gli esempi appena descritti sono precisamente le varietà riemanniane semplicemente connesse complete a curvatura sezionale costante K {\displaystyle K} , rispettivamente con K > 0 {\displaystyle K>0} (la sfera) K = 0 {\displaystyle K=0} (il piano) e K < 0 {\displaystyle K<0} (lo spazio iperbolico).

Spazi proiettivi e affini

Lo spazio proiettivo P n ( K ) {\displaystyle \mathbb {P} ^{n}(K)} , definito su un campo K {\displaystyle K} (ad esempio, il campo dei numeri reali o complessi), è uno spazio omogeneo assieme al gruppo G {\displaystyle G} delle proprie proiettività.

Lo spazio affine E n {\displaystyle E^{n}} è uno spazio omogeneo con il gruppo delle traslazioni.

Bibliografia

  • (EN) Shoshichi Kobayashi, Katsumi Nomizu, Foundations of differential geometry 2, Wiley Classics Library.
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