Topologia dello spazio-tempo

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La topologia dello spazio-tempo o topologia spazio-temporale, la struttura topologica dello spazio-tempo, è un argomento studiato principalmente nella relatività generale. Questa teoria fisica modella la gravitazione utilizzando una varietà lorentziana (uno spazio-tempo) e i concetti di topologia diventano perciò importanti nell'analisi degli aspetti sia locali che globali dello spazio-tempo. Lo studio della topologia dello spazio-tempo è importante specialmente in cosmologia fisica.

Tipi di topologia

Ci sono due principali tipi di topologia per uno spazio-tempo ${\displaystyle M}$:

Topologia della varietà

Come con ogni varietà, uno spazio-tempo possiede una topologia di varietà naturale. Qui gli insiemi aperti sono l'immagine degli insiemi aperti in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

Traiettoria o topologia di Zeeman

Definizione: ^[1] La topologia ${\displaystyle \rho }$ in cui un sottoinsieme ${\displaystyle E\subset M}$ è aperto se per ogni curva di tipo tempo ${\displaystyle c}$ c'è un insieme ${\displaystyle O}$ nella topologia di varietà tale che ${\displaystyle E\cap c=O\cap c}$.

È la topologia più fine fra quelle che inducono la stessa topologia come ${\displaystyle M}$ fa sulle curve di tipo tempo.

Proprietà

Strettamente più fine della topologia di varietà, essa è dunque Hausdorff, separabile ma non localmente compatta.

Una base per la topologia sono gli insiemi della forma ${\displaystyle I^{+}(p,U)\cup I^{-}(p,U)\cup p}$ per qualche punto ${\displaystyle p\in M}$ e qualche intorno normale convesso ${\displaystyle U\subset M}$.

(${\displaystyle I^{\pm }}$ denota il futuro e il passato cronologico).

Topologia di Alexandrov

La topologia di Alexandrov, anche detta topologia di intervallo, viene definita nei termini delle struttura causale nello spazio-tempo.

È la topologia più grossolana tale che ${\displaystyle I^{+}(E)}$ è aperto per tutti i sottoinsiemi ${\displaystyle E\subset M}$.

Qui la base degli insiemi aperti per la topologia sono insiemi della forma ${\displaystyle I^{+}(x)\cap I^{-}(y)}$ per alcuni punti ${\displaystyle \,x,y\in M}$.

Questa topologia coincide con la topologia della varietà se e solo se la varietà è fortemente causale ma in genere essa è più grossolana (coarse).

Note

Bibliografia

• (EN) E. C. Zeeman Causality Implies the Lorentz Group J. Math. Phys. April 1964 Volume 5, Issue 4, pp. 490-493

• (EN) S. W. Hawking, A. R. King, P. J. McCarthy A new topology for curved space–time which incorporates the causal, differential, and conformal structures J. Math. Phys. February 1976 Volume 17, Issue 2, pp. 174-181

Voci correlate

• Spazio-tempo
• Struttura causale
• Singolarità gravitazionale