Compattificazione di Alexandrov

La compattificazione di Alexandrov o Alexandroff (o compattificazione a un punto) di uno spazio topologico ${\displaystyle X}$ è uno spazio compatto che estende lo spazio di partenza ${\displaystyle X}$ mediante l'aggiunta di un unico punto (solitamente indicato con ${\displaystyle \infty }$). Deve il suo nome al matematico sovietico Pavel Sergeevič Aleksandrov.

Ad esempio, la compattificazione di Alexandroff della retta reale si ottiene aggiungendo un punto in modo che questo "congiunga" i due estremi della retta, che in tal modo diventa topologicamente equivalente alla circonferenza ${\displaystyle S^{1}}$; analogamente, la compattificazione di Alexandroff dello spazio ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ è la sfera ${\displaystyle S^{n}}$.

La compattificazione di Alexandroff ${\displaystyle X^{\infty }}$ di uno spazio ${\displaystyle X}$ è, in un certo senso, la più piccola estensione di ${\displaystyle X}$ che è anche compatta; più precisamente, se ${\displaystyle X}$ è uno spazio di Tychonoff non compatto ma localmente compatto, allora ${\displaystyle X^{\infty }}$ è l'elemento minimale dello spazio delle compattificazioni di ${\displaystyle X}$. Si contrappone quindi alla compattificazione di Stone-Čech, che è la "più grande" compattificazione di ${\displaystyle X}$.

Definizione

Sia ${\displaystyle (X,{\mathcal {U}})}$ uno spazio topologico. Allora la compattificazione di Alexandroff di ${\displaystyle (X,{\mathcal {U}})}$ è lo spazio ${\displaystyle (X^{\infty },{\mathcal {U}}^{\infty })}$, dove:

• ${\displaystyle X^{\infty }=X\cup \{\infty \}}$ (ove ${\displaystyle \infty }$ non è un elemento di ${\displaystyle X}$);
• ${\displaystyle {\mathcal {U}}^{\infty }={\mathcal {U}}\cup \{V\cup \{\infty \}\mid X\setminus V{\rm {\ chiuso\ e\ compatto\ in\ }}X\}}$.

In particolare, gli aperti di ${\displaystyle (X^{\infty },{\mathcal {U}}^{\infty })}$ che contengono ${\displaystyle \infty }$ sono i complementari degli insiemi chiusi e compatti di ${\displaystyle X}$.

Proprietà

Inclusione

L'inclusione

${\displaystyle i:X\hookrightarrow X^{\infty }}$

è una funzione continua. Se ${\displaystyle X}$ non è compatto, l'immagine di ${\displaystyle i}$ è un insieme denso in ${\displaystyle X^{\infty }}$.

Compattezza

Lo spazio ${\displaystyle X^{\infty }}$ è compatto. Infatti, dato un ricoprimento aperto ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ di ${\displaystyle X^{\infty }}$, esiste certamente un aperto ${\displaystyle U\in {\mathcal {R}}}$ del ricoprimento che contiene ${\displaystyle \infty }$. Poiché ${\displaystyle X\setminus U}$ è compatto ed è ricoperto da ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$, esiste un sottoricoprimento finito ${\displaystyle {\mathcal {R}}'}$ di ${\displaystyle X\setminus U}$. Un ricoprimento finito di ${\displaystyle X^{\infty }}$ è quindi dato da

${\displaystyle {\mathcal {R}}'\cup \{U\}.}$

Connessione

Se ${\displaystyle X}$ è connesso e non compatto, allora ${\displaystyle X^{\infty }}$ è connesso. Infatti se fosse unione disgiunta di due aperti, uno di questi conterrebbe ${\displaystyle \infty }$ e l'altro sarebbe necessariamente compatto e chiuso. Per connessione, l'unico insieme non vuoto, aperto e chiuso in ${\displaystyle X}$ è ${\displaystyle X}$ stesso, il quale non è però compatto.

Spazio di Hausdorff

Se ${\displaystyle X}$ è di Hausdorff e localmente compatto, allora anche ${\displaystyle X^{\infty }}$ è di Hausdorff, e viceversa. Infatti per ogni ${\displaystyle x\in X}$ esistono due intorni disgiunti ${\displaystyle U}$ di ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle V}$ di ${\displaystyle \infty }$: basta prendere ${\displaystyle U}$ contenuto in un compatto ${\displaystyle K}$ contenente ${\displaystyle x}$, e ${\displaystyle V}$ il complementare di ${\displaystyle K}$.

Esempi

• La compattificazione di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ è topologicamente equivalente alla sfera ${\displaystyle S^{n}}$; l'inclusione di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ in ${\displaystyle S^{n}}$ può essere descritta dalla proiezione stereografica.

Bibliografia

• (EN) John L. Kelley, General Topology, Springer-Verlag, 1975, ISBN 978-0-387-90125-1.
• (EN) Ryszard Engelking, General Topology, Helderman Verlag Berlin, 1989, ISBN 978-0-201-08707-9.

Voci correlate

• Topologia
• Spazi compatti
• Compattificazione
• Compattificazione di Stone-Čech
• Sfera di Riemann

Collegamenti esterni

• (EN) V.V. Fedorchuk, Aleksandrov compactification, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.

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