Funzione propria

In topologia una funzione continua fra spazi topologici è propria se la controimmagine di ogni insieme compatto è compatta.

Definizione

Una funzione continua

f : X → Y {\displaystyle f\colon X\to Y}

fra spazi topologici è propria se la controimmagine f − 1 ( K ) {\displaystyle f^{-1}(K)} di ogni sottoinsieme compatto K {\displaystyle K} di Y {\displaystyle Y} è un insieme compatto in X {\displaystyle X} .

Successioni divergenti

Una definizione equivalente è la seguente. Una successione divergente in uno spazio topologico è una successione di punti che fuoriesce da qualsiasi insieme compatto. Una funzione è propria se e solo se manda successioni divergenti in successioni divergenti.

Esempi

Una funzione strettamente convessa che ammette un minimo è propria. Ad esempio la parabola f : R → R ,   f ( x ) = x 2 {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,\ f(x)=x^{2}} è propria. La controimmagine di un compatto connesso [ − a 2 , b 2 ] {\displaystyle [-a^{2},b^{2}]} è infatti il compatto [ 0 , b ] {\displaystyle [0,b]} .

Una funzione limitata f : R → R {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } non è mai propria.

Il fatto di essere propria o meno dipende, oltre che dall'espressione della funzione, dal dominio e/o dal codominio. Ad esempio la funzione f : R → R ,   f ( x ) = e x {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,\ f(x)=e^{x}} , non è propria, infatti la controimmagine dell'intervallo [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} , che è un compatto, è ( − ∞ , 0 ] {\displaystyle (-\infty ,0]} che non è un compatto. D'altro canto, si noti invece che la funzione f : [ 0 , + ∞ ) → R ,   f ( x ) = e x {\displaystyle f\colon [0,+\infty )\rightarrow \mathbb {R} ,\ f(x)=e^{x}} è propria.

Proprietà

  • Ogni mappa continua da uno spazio compatto a uno spazio di Hausdorff è chiusa e propria.
  • Ogni mappa propria ammette grado topologico.

Bibliografia

  • (EN) Nicolas Bourbaki, General topology. Chapters 5--10, Elements of Mathematics, Berlin, New York, Springer-Verlag, 1998, ISBN 978-3-540-64563-4, MR 1726872.
  • (EN) Peter Johnstone, Sketches of an elephant: a topos theory compendium, Oxford, Oxford University Press, 2002, ISBN 0-19-851598-7., section C3.2 "Proper maps"
  • (EN) Ronald Brown, Topology and groupoids, N. Carolina, Booksurge, 2006, ISBN 1-4196-2722-8., p. 90 "Proper maps".
  • (EN) Brown, R. "Sequentially proper maps and a sequential compactification", J. London Math Soc. (2) 7 (1973) 515-522.

Voci correlate

Collegamenti esterni

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