Insieme denso

In matematica, un sottoinsieme di uno spazio topologico è denso nello spazio topologico se ogni elemento dello spazio appartiene all'insieme o ne è un punto di accumulazione.[1]

Nel caso di un insieme di numeri reali, ad esempio, per ogni coppia di numeri distinti vi è sempre un elemento dell'insieme compreso tra i due. I numeri razionali e i numeri irrazionali sono due insiemi densi, mentre i numeri interi non lo sono.

Definizione

Sia X {\displaystyle X} uno spazio topologico. Un sottoinsieme A {\displaystyle A} di X {\displaystyle X} è denso in X {\displaystyle X} se l'unico sottoinsieme chiuso di X {\displaystyle X} contenente A {\displaystyle A} è X {\displaystyle X} stesso, ovvero la chiusura di A {\displaystyle A} è X {\displaystyle X} .

Le seguenti definizioni sono inoltre equivalenti a quella data. A {\displaystyle A} è denso in X {\displaystyle X} se e solo se:

  • Ogni sottoinsieme aperto non vuoto di X {\displaystyle X} interseca A {\displaystyle A} .
  • Il complementare di A {\displaystyle A} ha parte interna vuota.
  • Ogni punto di X {\displaystyle X} o appartiene ad A {\displaystyle A} o è un punto di accumulazione per A {\displaystyle A} .

Esempi

  • Ogni spazio topologico S {\displaystyle S} è denso in sé stesso; tutti gli altri chiusi di S {\displaystyle S} e tutti i sottoinsiemi di essi non sono densi in S {\displaystyle S} .
  • Lo spazio dei numeri reali con l'usuale topologia euclidea ha gli insiemi dei numeri razionali, dei numeri irrazionali, dei numero algebrici, dei numero trascendenti e il complementare dell'insieme di Cantor come sottoinsiemi densi.
  • Se A ⊆ B ⊆ C {\displaystyle A\subseteq B\subseteq C} e A {\displaystyle A} è denso in C {\displaystyle C} , allora anche B {\displaystyle B} è denso in C {\displaystyle C} .
  • Se un sottoinsieme è denso in una topologia, allora è denso anche in ogni topologia meno fine.
  • Il complementare di un insieme mai denso è denso.
  • Nel piano, una superficie senza bordo è densa nell'insieme formato dalla stessa superficie con bordo.
  • Teorema di approssimazione di Weierstrass: i polinomi sono densi nell'insieme C [ a , b ] {\displaystyle C[a,b]} delle funzioni continue sull'intervallo [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} , dotato della distanza
d ∞ ( f , g ) = max x ∈ [ a , b ] | f ( x ) − g ( x ) | {\displaystyle d_{\infty }(f,g)=\max _{x\in [a,b]}|f(x)-g(x)|}
  • Uno spazio metrico M {\displaystyle M} è denso nel suo completamento γ M {\displaystyle \gamma M}

Note

  1. ^ Reed, Simon, Pag. 6.

Bibliografia

  • Michael Reed, Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis, 2ª ed., San Diego, California, Academic press inc., 1980, ISBN 0-12-585050-6.

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