Spazio pseudometrico

In matematica, e più precisamente in topologia, uno spazio pseudometrico è una generalizzazione dello spazio metrico, in cui due punti distinti possono avere distanza zero.

Esempi di spazi pseudometrici sono costruiti a partire da una seminorma su uno spazio vettoriale.

Definizione

Uno spazio pseudometrico $(X,d)$ è un insieme $X$ dotato di una funzione

d:X\times X\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}

chiamata pseudometrica, che soddisfa le proprietà seguenti per ogni $x,y,z$ in $X$ :

$\,\!d(x,x)=0$ .
$\,\!d(x,y)=d(y,x)$ (simmetria)
$\,\!d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$ (disuguaglianza triangolare)

Differentemente da uno spazio metrico, qui non è richiesto che $d(x,y)$ sia diverso da zero per ogni coppia di punti distinti $x$ e $y$ .

Esempi

Vi sono molti esempi di pseudometriche in analisi funzionale. Una seminorma $||$ su uno spazio vettoriale induce sempre una pseudometrica nel modo seguente

d(v,w)=|v-w|.

Ad esempio, lo spazio Lp delle funzioni misurabili su un aperto è dotato di una seminorma, e quindi di una pseudometrica.

Quoziente

Ogni spazio pseudometrico può essere quozientato canonicamente ad uno spazio metrico, nel modo seguente.

Due punti dello spazio pseudometrico $X$ sono equivalenti se hanno distanza zero. Questa relazione è effettivamente una relazione di equivalenza, e lo spazio quoziente da essa definito è uno spazio metrico, poiché la distanza

d^{*}([x],[y])=d(x,y)

risulta ancora ben definita anche al quoziente.

Bibliografia

(EN) L.A. Steen, J.A.Seebach, Jr., Counterexamples in topology, (1970) Holt, Rinehart and Winston, Inc..
(EN) A.V. Arkhangelskii, L.S.Pontryagin, General Topology I, (1990) Springer-Verlag, Berlin. ISBN 3-540-18178-4