3-varietà

In geometria, una 3-varietà è una varietà differenziabile di dimensione 3. Informalmente, si tratta di un "possibile universo": uno spazio con 3 dimensioni che è localmente simile allo spazio tridimensionale come è percepito dall'essere umano, la cui struttura globale può però essere molto differente e di difficile intuizione.

Lo studio delle 3-varietà è un ramo importante della topologia della dimensione bassa. Ha forti connessioni con la teoria dei nodi e la geometria iperbolica. Gli strumenti usati nello studio delle 3-varietà sono molteplici: tra questi, il gruppo fondamentale (che cattura gran parte della struttura della varietà), lo studio delle superfici (in particolare le superfici incompressibili) e la geometria iperbolica.

Definizione

Una 3-varietà è una varietà differenziabile oppure topologica di dimensione 3. L'aggettivo "topologica" o "differenziabile" è usato, quando necessario, per specificare di quale varietà si tratta; in verità, la differenza fra le due nozioni in dimensione 3 è minima: una varietà differenziabile è anche topologica (questo è valido in tutte le dimensioni), e viceversa ogni varietà topologica può essere dotata di un'unica struttura differenziabile a meno di diffeomorfismo (questo è valido solo in dimensione 2 e 3). Per questo motivo, l'aggettivo è generalmente omesso.

Analogamente, una 3-varietà con bordo è una varietà con bordo di dimensione 3. Spesso anche una 3-varietà con bordo è chiamata semplicemente 3-varietà.

Esempi

Dentro lo spazio euclideo

Lo spazio euclideo $\mathbb {R} ^{3}$ è una 3-varietà. Ogni sottoinsieme aperto dello spazio euclideo è anch'esso una 3-varietà. Ad esempio, la palla

B^{3}=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:x^{2}+y^{2}+z^{2}<1\}

oppure il complementare di un nodo.

Lo spazio tridimensionale contiene anche molte 3-varietà con bordo. Ad esempio, il disco chiuso

D^{3}=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 1\}

il cui bordo è la sfera bidimensionale

S^{2}=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\}

oppure il toro solido, il cui bordo è il toro. Più in generale, un corpo con manici, il cui bordo è una superficie orientabile di genere arbitrario.

Lo spazio euclideo non contiene però varietà chiuse, cioè compatte e senza bordo.

Sfera

La 3-varietà più semplice che non sia contenuta nello spazio euclideo è la sfera tridimensionale (a volte chiamata ipersfera)

S^{3}={\big \{}(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\in \mathbb {R} ^{4}\ |\ x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=1{\big \}}.

Si tratta di una 3-varietà chiusa semplicemente connessa.

Spazi lenticolari

Gli spazi lenticolari sono le 3-varietà chiuse aventi gruppo fondamentale più semplice. Lo spazio lenticolare $L(p,q)$ è una 3-varietà definita come spazio quoziente di $S^{3}$ tramite un'azione del gruppo ciclico $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ . Lo spazio è definito per ogni coppia di interi coprimi $(p,q)$ . Si tratta di una varietà chiusa, il cui gruppo fondamentale è $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ .

Per $p=1$ la 3-varietà è la sfera $S^{3}$ , mentre per $p=2$ si tratta dello spazio proiettivo reale tridimensionale $\mathbb {P} ^{3}(\mathbb {R} )$ .

Toro

Un'altra 3-varietà che generalizza varietà di dimensione inferiore è il toro tridimensionale

S^{1}\times S^{1}\times S^{1}.

Il suo gruppo fondamentale è $\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$ . Più in generale, il prodotto di una superficie con la circonferenza $S^{1}$ è una 3-varietà con gruppo fondamentale infinito.

Visualizzazione

Una superficie può essere agevolmente visualizzata tramite un disegno, e se è orientabile può essere descritta interamente all'interno dello spazio tridimensionale. Inoltre è descritta a meno di omeomorfismo semplicemente dal suo genere.

Descrivere e visualizzare una 3-varietà è più difficile. Non esiste una semplice generalizzazione della nozione di genere, che possa classificarle agevolmente. Esistono quindi varie tecniche per costruire e descrivere completamente una 3-varietà.

Triangolazione

Ogni 3-varietà compatta ammette una triangolazione. Può quindi essere descritta in modo combinatorio, da una lista di dati che descrivono i tetraedri e i modi in cui le facce triangolari di questi sono identificate a coppie. Questa descrizione combinatoria è stata usata a partire dagli anni ottanta in vari programmi al computer.

Chirurgia di Dehn

Un link in $\mathbb {R} ^{3}$ (più precisamente, in $S^{3}$ ), in cui ogni componente ha un numero razionale assegnato, descrive una 3-varietà. Questa è la varietà ottenuta tramite chirurgia di Dehn effettuata sul link: la chirurgia consiste nel rimuovere attorno ad ogni componente del link un toro solido, ottenuto "ingrassando" lievemente la componente (il toro solido è un piccolo intorno tubolare di questa), e rincollare il toro solido lungo una mappa differente. La scelta della mappa dipende dal numero razionale.

Diagramma di Heegaard

Ogni 3-varietà è ottenibile incollando due corpi con manici $H_{1}$ e $H_{2}$ aventi lo stesso genere lungo il bordo, tramite un omeomorfismo

\psi \colon \partial H_{1}\to \partial H_{2}.

Questa costruzione è detta decomposizione di Heegaard. La decomposizione può essere descritta disegnando $H_{1}$ e specificando sul suo bordo alcune curve che bordano un disco all'interno di $H_{2}$ .

Decomposizione e geometrizzazione

Per il teorema di uniformizzazione di Riemann, ogni superficie ammette una struttura di varietà riemanniana completa con curvatura sezionale costante +1, 0 o -1. Ogni superficie ha quindi una struttura di varietà ellittica, piatta o iperbolica completa.

Una analoga uniformizzazione esiste anche per le 3-varietà: congetturata da William Thurston all'inizio degli anni ottanta, è stata dimostrata da Grigori Perelman nel 2002. La geometrizzazione di Thurston asserisce che ogni 3-varietà si decompone lungo sfere e tori in pezzi che ammettono una metrica omogenea. La decomposizione lungo sfere e tori, nota già negli anni settanta, consiste nel teorema di Kneser-Milnor per la somma connessa (le sfere) e nella decomposizione JSJ (i tori).

Lungo sfere

Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema di Kneser-Milnor.

La decomposizione lungo sfere è enunciata dal teorema di Kneser-Milnor. Il teorema asserisce che il comportamento delle 3-varietà rispetto all'operazione di somma connessa è simile al comportamento dei numeri interi rispetto al prodotto: si tratta in effetti dell'analogo del teorema fondamentale dell'algebra.

Il teorema asserisce che ogni 3-varietà orientabile e chiusa $M$ ammette un'unica scrittura come somma connessa

M=M_{1}\#\ldots \#M_{k}

di varietà $M_{i}$ prime, cioè varietà che non si scrivono a loro volta come somma connessa non banale.

Lungo tori

Lo stesso argomento in dettaglio: Decomposizione JSJ.

La decomposizione lungo tori è nota con il nome di decomposizione JSJ, dal nome dei matematici Jaco, Shalen e Johannson che l'hanno descritta negli anni 70. Ogni 3-varietà prima contiene un insieme di tori incompressibili disgiunti $T_{1},\ldots ,T_{h}$ , con la proprietà che

ogni altro toro incompressibile è disgiunto da questi dopo una opportuna isotopia,
L'insieme è massimale rispetto alla proprietà 1.

Geometrizzazione

Lo stesso argomento in dettaglio: Congettura di geometrizzazione di Thurston.

I tori della decomposizione JSJ separano una varietà prima $M$ in tanti blocchi. Ciascun blocco è una varietà compatta, il cui bordo è unione di tori disgiunti. La congettura di geometrizzazione di Thurston asserisce che la parte interna di ciascuno di questi blocchi ammette una metrica riemanniana omogenea. Esistono in dimensione tre 8 tipi metriche riemanniane di questo tipo: 3 di queste sono la geometrie ellittica, piatta e iperbolica.

Congettura di Poincaré

Lo stesso argomento in dettaglio: Congettura di Poincaré.

La congettura di Poincaré è un caso particolare della congettura di Thurston, ed è quindi stata dimostrata anch'essa da Perelman nel 2002. La congettura asserisce che $S^{3}$ è l'unica 3-varietà chiusa semplicemente connessa.

Esempi

Ellittiche

Le 3-varietà chiuse ellittiche sono precisamente tutte le 3-varietà con gruppo fondamentale finito. Tra queste, la sfera, lo spazio proiettivo, e più generalmente ogni spazio lenticolare. Più in generale, una tale varietà è ottenuta come quoziente di $S^{3}$ tramite un gruppo di isometrie di $S^{3}$ che agisce in modo libero e propriamente discontinuo. Il gruppo delle isometrie di $S^{3}$ è il gruppo ortogonale speciale $SO(4)$ , e tutti i suoi sottogruppi di questo tipo sono stati classificati da John Milnor negli anni sessanta.

Iperboliche

Lo studio delle 3-varietà iperboliche, emerso con i lavori di Thurston a partire dalla fine anni settanta, è considerato di gran lunga più interessante fra i matematici. Fra le 8 geometrie omogenee, quella iperbolica si mostra infatti come la più ricca. Mentre le varietà della altre 7 geometrie sono già state classificate dagli anni cinquanta, non esiste ancora una classificazione soddisfacente delle varietà iperboliche.

Una 3-varietà iperbolica è ottenuta come quoziente dello spazio iperbolico $\mathbb {H} ^{3}$ tramite un gruppo di isometrie che agisce in modo libero e propriamente discontinuo. Il gruppo delle isometrie che preservano l'orientazione di $\mathbb {H} ^{3}$ è isomorfo al gruppo delle trasformazioni di Möbius, un gruppo importante in analisi complessa e geometria proiettiva.

Piatte

La varietà $S^{1}\times S^{1}\times S^{1}$ ammette (come ogni prodotto di un numero arbitrario di circonferenze) una struttura di varietà piatta; è ottenuta quozientando lo spazio euclideo $\mathbb {R} ^{3}$ tramite il gruppo di isometrie dato dalle traslazioni intere sui tre assi.

Altre geometrie

La varietà $\Sigma \times S^{1}$ ottenuta come prodotto di una superficie $\Sigma$ di genere maggiore di uno e di una circonferenza ammette una delle 5 metriche omogenee rimanenti.

Bibliografia

William Jaco, Lectures on 3-manifold topology, ISBN 0-8218-1693-4.
William Thurston, Three-dimensional geometry and topology. Vol. 1, Princeton Mathematical Series, n. 35, Princeton University Press, 1997, ISBN 0-691-08304-5.