Test de Fisher d'égalité de deux variances

Pour la loi de probabilité, voir Loi de Fisher.

Test de Fisher d'égalité de deux variances

Type	Test statistique
Nom court	(en) F Test
Nommé en référence à	Ronald Aylmer Fisher

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En statistique, le test F d'égalité de deux variances, est un test d'hypothèse qui permet de tester l'hypothèse nulle que deux lois normales ont la même variance. Il fait partie du grand ensemble de tests appelé "test F".

Le test

Soient deux variables aléatoires indépendantes ${\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}(m_{1},\sigma _{1}^{2}),Y\sim {\mathcal {N}}(m_{2},\sigma _{2}^{2})}$ et deux échantillons ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n_{1}}}$, ${\displaystyle Y_{1},\dots ,Y_{n_{2}}}$.

Si les moyennes sont inconnues

On veut tester ${\displaystyle H_{0}:\sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2},H_{1}:\sigma _{1}^{2}\neq \sigma _{2}^{2}}$ , si les moyennes ${\displaystyle m_{1}}$et ${\displaystyle m_{2}}$sont inconnues on les estime par ${\displaystyle {\overline {X_{n_{1}}}}}$ et ${\displaystyle {\overline {Y_{n_{2}}}}}$ :

La statistique de test est

${\displaystyle Z={\frac {S_{n_{1}}^{2}}{S_{n_{2}}^{2}}}\sim F(n_{1}-1,n_{2}-1),}$

avec

${\displaystyle S_{n_{1}}^{2}={\frac {1}{n_{1}-1}}\sum _{i=1}^{n_{1}}\left(X_{i}-{{\bar {X}}_{n_{1}}}\right)^{2}}$ et ${\displaystyle S_{n_{2}}^{2}={\frac {1}{n_{2}-1}}\sum _{i=1}^{n_{2}}\left(Y_{i}-{{\bar {Y}}_{n_{2}}}\right)^{2}.}$

On rejette (au niveau ${\displaystyle \alpha }$) l'hypothèse nulle si la réalisation de la statistique de test ${\displaystyle Z}$ est soit plus grande que le quantile d'ordre ${\displaystyle 1-{\frac {\alpha }{2}}}$ soit plus petite que le quantile ${\displaystyle {\frac {\alpha }{2}}}$ de la loi de Fisher correspondante.

Si les moyennes sont connues

On veut tester ${\displaystyle H_{0}:\sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2},H_{1}:\sigma _{1}^{2}\neq \sigma _{2}^{2}}$ , si les moyennes ${\displaystyle m_{1}}$et ${\displaystyle m_{2}}$sont connues. La statistique de test est alors

${\displaystyle {\tilde {Z}}={\frac {{\tilde {S}}_{n_{1}}^{2}}{{\tilde {S}}_{n_{2}}^{2}}}\sim F(n_{1},n_{2}),}$

avec

${\displaystyle {\tilde {S}}_{n_{1}}^{2}={\frac {1}{n_{1}}}\sum _{i=1}^{n_{1}}\left(X_{i}-{m_{1}}\right)^{2}}$ et ${\displaystyle {\tilde {S}}_{n_{2}}^{2}={\frac {1}{n_{2}}}\sum _{i=1}^{n_{2}}\left(Y_{i}-{m_{2}}\right)^{2}.}$

On rejette (au niveau ${\displaystyle \alpha }$) l'hypothèse nulle si la réalisation de la statistique de test ${\displaystyle {\tilde {Z}}}$ est soit plus grande que le quantile d'ordre ${\displaystyle 1-{\frac {\alpha }{2}}}$ soit plus petite que le quantile ${\displaystyle {\frac {\alpha }{2}}}$ de la loi de Fisher correspondante.

Remarque

Initialement, à l'époque où on utilisait des tables des quantiles, le test était souvent présenté en calculant le rapport de la variance la plus grande sur la variance la plus faible, ce qui permettait de ne comparer la valeur de la statistique de test qu'au quantile ${\displaystyle 1-{\frac {\alpha }{2}}}$. Dorénavant, puisqu'on n'utilise plus de tables de quantiles mais des logiciels statistiques, cette présentation a perdu de son intérêt.

Propriétés

Ce test est particulièrement sensible à la non normalité^[1],[2]. Donc, il existe des alternatives comme le test de Bartlett ou le test de Levene.

Applications

Le test de Chow est une application du test de Fisher pour tester l'égalité des coefficients sur deux populations différentes.

Ce test est utilisé en biologie dans la recherche de QTL.

Implémentation

• var.testavec R et la librairie "stats"^[3]

Articles connexes

• Ronald Aylmer Fisher
• Loi de Fisher
• Test exact de Fisher
• Test de Bartlett

Notes et références

• [1] Université Paris Descartes, section Tests sur des échantillons gaussiens

v · m Tests statistiques
Tests de comparaison d'une seule variable	Pour un échantillon Test Z Test t pour un échantillon Test des signes Test des rangs signés de Wilcoxon Estimateur de Hodges-Lehmann Pour deux échantillons Test F Test de Student Test t de Welch Test U de Mann-Whitney Test du χ² d'homogénéité Test de McNemar Test de la médiane Pour 3 échantillons ou plus Analyse de la variance (ANOVA) Test de Kruskal-Wallis ANOVA de Friedman Test de Bartlett Test de Levene Test de Brown-Forsythe
Tests de comparaison de deux variables	Deux variables quantitatives : Tests de corrélation Corrélation de Pearson Corrélation de Spearman Corrélation de Kendall Deux variables qualitatives Test exact de Fisher Test du χ² d'indépendance Test Gamma Plus de deux variables Concordance de Kendall Analyse de variance multivariée Test Q de Cochran
Tests d'adéquation à une loi	Test de Kolmogorov-Smirnov Test du χ² d'adéquation Test de Jarque-Bera Test de Lilliefors Test d'Anderson-Darling Test de D'Agostino Test de Cramer-Von Mises
Tests d'appartenance à une famille de lois	Test de Shapiro-Wilk
Autres tests	Test du rapport de vraisemblance
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