Fonction de répartition empirique

En statistiques, une fonction de répartition empirique est une fonction de répartition qui attribue la probabilité 1/n à chacun des n nombres dans un échantillon.

Soit X₁,...,X_n un échantillon de variables iid définies sur un espace de probabilité ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} )}$, à valeurs dans ${\displaystyle \mathbb {R} }$, avec pour fonction de répartition F. La fonction de répartition empirique ${\displaystyle F_{n}}$ de l'échantillon ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$est définie par :

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\forall \omega \in \Omega ,F_{n}(x,\omega )={\frac {\mathrm {nombre~d'{\acute {e}}l{\acute {e}}ments} \,\leq x\,\mathrm {dans~l'{\acute {e}}chantillon} }{n}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {1} _{X_{i}(\omega )\leq x}}$

où ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}}$ est la fonction indicatrice de l'événement A.

Pour chaque ω, l'application ${\displaystyle x\to F_{n}(x,\omega )}$ est une fonction en escalier, fonction de répartition de la loi de probabilité uniforme sur l'ensemble ${\displaystyle \{X_{1}(\omega ),\dots ,X_{n}(\omega )\}}$.

Pour chaque x, la variable aléatoire ${\displaystyle \mathbf {1} _{(X_{i}\leq x)}}$ est une variable aléatoire de Bernoulli, de paramètre p=F(x). Par conséquent, la variable aléatoire ${\displaystyle \omega \to nF_{n}(x,\omega )}$, qu'on notera ${\displaystyle nF_{n}(x,.)}$, est distribuée selon une loi binomiale, avec pour moyenne nF(x) et pour variance nF(x)(1 − F(x)). En particulier, F_n(x) est un estimateur non-biaisé de F(x).

Propriétés asymptotiques

• Par la loi forte des grands nombres,

pour tout x, ${\displaystyle F_{n}(x,.)\to F(x)}$ presque sûrement.

• Par le théorème central limite,

${\displaystyle {\sqrt {n}}(F_{n}(x,.)-F(x))}$ converge en loi vers une loi normale ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,F(x)(1-F(x))}$ pour un x fixé.

Le théorème de Berry–Esseen procure le taux de convergence.

• Par le théorème de Glivenko-Cantelli, presque sûrement, la convergence uniforme ${\textstyle \ F_{n}\to F\ }$ a lieu, ou bien, de manière équivalente :

${\displaystyle \|F_{n}-F\|_{\infty }=\sup _{x\in \mathbb {R} }\|F_{n}(x,.)-F(x)\|~{\xrightarrow[{n\to \infty }]{}}~0}$ presque sûrement.

L' inégalité de Dvoretzky-Kiefer-Wolfowitz procure le taux de convergence.

• Kolmogorov a montré que

${\displaystyle {\sqrt {n}}\|F_{n}-F\|_{\infty }}$ converge en distribution vers la distribution de Kolmogorov, à condition que F soit continue.

Le test de Kolmogorov-Smirnov de goodness-of-fit est basé sur ce fait.

• Par le théorème de Donsker,

${\displaystyle {\sqrt {n}}(F_{n}-F)}$, en tant que processus indexé par x, converge faiblement dans ${\displaystyle \ell ^{\infty }(\mathbb {R} )}$ vers un pont brownien B(F(x)).

Bibliographie

• (en) Galen R. Shorack et Jon A. Wellner, Empirical Processes With Applications to Statistics, Society for Industrial & Applied Mathematics, 4 septembre 2009, 998 p. (ISBN 978-0-89871-684-9 et 0-89871-684-5, lire en ligne)
• van der Vaart, A.W. and Wellner, J.A. (1996) "Weak Convergence and Empirical Processes", Springer. (ISBN 0-387-94640-3).

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