Écart moyen

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En statistique, et en probabilités, l'écart moyen est une mesure de la dispersion autour de la moyenne^{[réf. nécessaire]}.

En statistique

Il se calcule ainsi :

• dans le cas d'une série discrète non triée, écart moyen = ${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-{\bar {x}}|}$ ;
• dans le cas d'une série discrète regroupée^[1], écart moyen = ${\displaystyle {\frac {\sum _{i=1}^{n}n_{i}|x_{i}-{\bar {x}}|}{\sum _{i=1}^{n}n_{i}}}=\sum _{i=1}^{n}f_{i}|x_{i}-{\bar {x}}|}$ ;
• dans le cas d'une série continue, écart moyen = ${\displaystyle {\frac {\sum _{i=1}^{n}n_{i}|m_{i}-{\bar {x}}|}{\sum _{i=1}^{n}n_{i}}}=\sum _{i=1}^{n}f_{i}|m_{i}-{\bar {x}}|}$.

En probabilités

Définition

Pour une variable aléatoire réelle ${\displaystyle X}$, l'écart moyen est la moyenne des écarts (absolus) à la moyenne : ${\displaystyle {\textbf {EM}}(X)=\mathbb {E} \left(|X-\mathbb {E} (X)|\right)}$.

On précise parfois écart moyen absolu^{[réf. nécessaire]}, pour le différentier de l'écart moyen algébrique ${\displaystyle \mathbb {E} \left(X-\mathbb {E} (X)\right)}$, lequel est nul.

Exemples

• Si ${\displaystyle X}$ suit une loi binomiale ${\displaystyle B(2n,1/2)}$, ${\displaystyle {\textbf {EM}}(X)=\mathbb {E} (|X-n|)=n{\frac {2n \choose n}{2^{2n}}}\sim {\sqrt {n \over \pi }}}$.
• Si ${\displaystyle X}$ suit une loi normale ${\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})}$, ${\displaystyle {\textbf {EM}}(X)=\mathbb {E} (|X-\mu |)={\sqrt {2 \over \pi }}\sigma }$.
• Si ${\displaystyle X}$ suit une loi géométrique de paramètre 1/2, ${\displaystyle {\textbf {EM}}(X)=\mathbb {E} (|X-2|)=1}$.

Comparaison avec l'écart-type

L'écart moyen a une définition plus naturelle que l'écart-type ${\displaystyle \sigma (X)={\sqrt {\mathbb {E} \left(\left(X-\mathbb {E} (X)\right)^{2}\right)}}}$, mais il est plus difficile à calculer en général.

D'après l'inégalité de Jensen, l'écart moyen est inférieur ou égal à l'écart type.

Notes et références

Articles connexes

• Critères de dispersion
• Écart-type
• Valeur absolue des écarts

• Portail des probabilités et de la statistique