Omomorfismo di gruppi

In matematica, e più precisamente in algebra, un omomorfismo di gruppi è un tipo di funzione fra gruppi che ne preserva le operazioni. Questo concetto identifica quindi quali sono le funzioni "interessanti" nella teoria dei gruppi.

Dati due gruppi ${\displaystyle (G,\cdot )}$ e ${\displaystyle (H,\circ )}$, una funzione ${\displaystyle f\colon G\longrightarrow H}$ è un omomorfismo se

${\displaystyle f(a\cdot b)=f(a)\circ f(b),}$

per ogni ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ appartenenti a ${\displaystyle G}$.

La funzione ${\displaystyle f}$ è inoltre detta monomorfismo se è iniettiva, epimorfismo se è suriettiva e isomorfismo se è biiettiva.

L'insieme degli omomorfismi da ${\displaystyle G}$ ad ${\displaystyle H}$ si indica con ${\displaystyle \mathrm {Hom} (G,H)}$.

Dati due gruppi qualsiasi ${\displaystyle G}$ e ${\displaystyle H}$, l'omomorfismo banale ${\displaystyle f\colon G\longrightarrow H}$ è l'omomorfismo che assegna ad ogni elemento ${\displaystyle g}$ di ${\displaystyle G}$ l'elemento neutro ${\displaystyle e_{H}}$ di ${\displaystyle H}$. L'identità ${\displaystyle \mathrm {id} \colon G\longrightarrow G}$ è un altro esempio immediato; allo stesso modo, se ${\displaystyle H}$ è un sottogruppo di ${\displaystyle G}$, l'inclusione ${\displaystyle i\colon H\longrightarrow G}$ è un omomorfismo.

Il determinante di una matrice quadrata a coefficienti in un campo è, grazie al teorema di Binet, un esempio di omomorfismo tra il gruppo delle matrici quadrate invertibili con l'operazione di prodotto tra matrici e il gruppo moltiplicativo degli elementi non nulli del campo.

Nel campo dell'analisi matematica, la funzione esponenziale è un omomorfismo tra i reali con l'addizione e i reali positivi con la moltiplicazione.

• Dalla definizione si deduce subito che ${\displaystyle f}$ manda l'elemento neutro di ${\displaystyle G}$ nell'elemento neutro di ${\displaystyle H}$. Si deduce inoltre che ${\displaystyle f(a^{-1})=f(a)^{-1}}$. Di conseguenza, si può dire che ${\displaystyle f}$ è "compatibile con la struttura di gruppo", perché preserva elementi neutri ed inversi.
• L'insieme ${\displaystyle \mathrm {Hom} (G,H)}$ può essere munito in modo naturale di una struttura di gruppo con l'operazione così definita: dati due omomorfismi ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$, la loro composizione ${\displaystyle f\circ g}$ è la funzione che manda ${\displaystyle a}$ in ${\displaystyle f(a)\cdot g(a)}$, dove ${\displaystyle \cdot }$ è l'operazione di gruppo in ${\displaystyle H}$: si verifica che anche ${\displaystyle f\circ g}$ è un omomorfismo. Nel caso in cui ${\displaystyle H}$ sia un gruppo abeliano, anche ${\displaystyle \mathrm {Hom} (G,H)}$ è abeliano, a prescindere dal gruppo ${\displaystyle G}$, infatti ${\displaystyle (f\circ g)(a)=f(a)\cdot g(a)=g(a)\cdot f(a)=(g\circ f)(a)}$, per ogni ${\displaystyle a\in G}$, e quindi ${\displaystyle f\circ g=g\circ f}$.
• Il nucleo di ${\displaystyle f}$ è definito come l'insieme di tutti gli elementi ${\displaystyle a}$ di ${\displaystyle G}$ tali che ${\displaystyle f(a)}$ è l'elemento neutro di ${\displaystyle H}$. Esso è un sottogruppo normale di ${\displaystyle G}$; inoltre, ogni sottogruppo normale è il nucleo di un omomorfismo, ad esempio l'omomorfismo naturale (o proiezione sul quoziente) ${\displaystyle G\longrightarrow G/H}$.
• L'immagine di ${\displaystyle G}$ tramite ${\displaystyle f}$ è un sottogruppo di ${\displaystyle H}$, non necessariamente normale.

• Michael Artin, Algebra, Bollati Boringhieri, 1997, ISBN 88-339-5586-9.

• Gruppo (matematica)
• Nucleo (matematica)
• Isomorfismo tra gruppi

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su omomorfismo di gruppi

• (EN) Eric W. Weisstein, Omomorfismo di gruppi, su MathWorld, Wolfram Research.

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