Dominio euclideo

In algebra, un dominio euclideo o anello euclideo è un anello commutativo su cui è possibile effettuare una divisione euclidea.

Definizione

Un dominio d'integrità R {\displaystyle R} è un anello euclideo se è possibile definire una funzione d : R ∖ { 0 } → N {\displaystyle d\colon R\setminus \{0\}\to \mathbb {N} } che associa ad ogni elemento non nullo a ∈ R {\displaystyle a\in R} un numero naturale d ( a ) {\displaystyle d(a)} con le seguenti proprietà:

  • d ( a ) ≤ d ( a ∗ b ) ∀ a , b ∈ R ∖ { 0 } {\displaystyle d(a)\leq d(a*b)\;\forall a,b\in R\setminus \{0\}}
  • ∀ a , b ∈ R {\displaystyle \forall a,b\in R} ,con b ≠ 0   ∃ q , r ∈ R {\displaystyle b\neq 0\ \exists q,r\in R} tali che a = q ∗ b + r {\displaystyle a=q*b+r} e d ( r ) < d ( b ) {\displaystyle d(r)<d(b)} oppure r = 0 {\displaystyle r=0}

In pratica, tale proprietà dice che è sempre possibile effettuare una divisione fra due numeri non nulli a e b, avente quoziente q e resto r, tale che il resto r sia "più piccolo" di b: esattamente quanto accade con i numeri interi. L'essere "più piccolo" è realizzato dalla funzione d {\displaystyle d} , detta valutazione o norma.

Esempi

Anelli euclidei

  • l'anello Z degli interi, con v(n) = |n| il valore assoluto di n;
  • l'anello Z[i] degli interi gaussiani, con v(a+bi) = a2+b2;
  • l'anello K[X] dei polinomi a coefficienti in un campo K, con v(p) uguale al grado del polinomio p;
  • l'anello K[[X]] delle serie formali di potenze a coefficienti in un campo K, con v(f) uguale al grado del più piccolo monomio presente nella serie f.
  • un campo qualsiasi, semplicemente con v(x) = 1 per ogni x.

Anelli non euclidei

  • un anello che non è ad ideali principali non è neppure euclideo. Più difficile è trovare un anello ad ideali principali che non sia euclideo: un esempio è dato da
    Z [ 1 + − 19 2 ] {\displaystyle \mathbb {Z} \left[{\frac {1+{\sqrt {-19}}}{2}}\right]}

Proprietà

Sia A un anello euclideo.

  • A è un anello ad ideali principali. Infatti ogni ideale I è generato da uno qualsiasi degli elementi in I avente valutazione minima;
  • l'algoritmo di Euclide per trovare il massimo comune divisore fra due elementi funziona in A;
  • è possibile trovare una valutazione su A tale che v(ab) ≥ v(a) per ogni a e b non nulli;
  • poiché A è ad ideali principali, è anche un anello a fattorizzazione unica: una valutazione con la proprietà v(ab) ≥ v(a) può essere usata per trovare direttamente la fattorizzazione.

Bibliografia

  • Giulia Maria Piacentini Cattaneo, Algebra - un approccio algoritmico. Decibel-Zanichelli, Padova 1996, ISBN 978-88-08-16270-0
  • Luca Barbieri Viale, §5.4 Anelli euclidei, Che cos'è un numero ? Raffaello Cortina, 2013, ISBN 978-88-6030-604-3

Voci correlate

Collegamenti esterni

  • (EN) Eric W. Weisstein, Dominio euclideo, su MathWorld, Wolfram Research. Modifica su Wikidata
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