Estensione algebrica

In algebra astratta, una estensione di campi ${\displaystyle L/K}$ è detta algebrica se ogni elemento di ${\displaystyle L}$ è ottenibile come radice di un qualche polinomio a coefficienti in ${\displaystyle K}$.

Definizioni

Sia ${\displaystyle K}$ un campo. Una estensione è il dato di un altro campo ${\displaystyle L}$ e di un omomorfismo iniettivo di ${\displaystyle K}$ in ${\displaystyle L}$. Tramite l'omomorfismo, ${\displaystyle K}$ può essere visto come un sottocampo di ${\displaystyle L}$. L'estensione è generalmente indicata con la notazione ${\displaystyle L/K}$.

Un elemento ${\displaystyle a}$ di ${\displaystyle L}$ è algebrico su ${\displaystyle K}$ se esiste un polinomio (non nullo) ${\displaystyle p}$ a coefficienti in ${\displaystyle K}$ tale che

${\displaystyle p(a)=0.}$

Un elemento non algebrico su ${\displaystyle K}$ è detto trascendente.

Se tutti gli elementi di ${\displaystyle L}$ sono algebrici su ${\displaystyle K}$, l'estensione ${\displaystyle L/K}$ è detta algebrica. Altrimenti è trascendente.

Polinomio minimo

Tra tutti i polinomi che si annullano in ${\displaystyle a}$, ne esiste uno in particolare di grado minimo, detto polinomio minimo di ${\displaystyle a}$ su ${\displaystyle K}$. Si dimostra che esso è unico a meno di una costante moltiplicativa (ciò equivale a dire che esiste un unico polinomio minimo monico, cioè con coefficiente del termine di grado massimo uguale a ${\displaystyle 1}$) e che l'ideale generato da esso rappresenta il nucleo dell'omomorfismo di valutazione

${\displaystyle \varphi \colon K[X]\to L,g\mapsto g(a).}$

Inoltre il grado di tale polinomio è proprio il grado ${\displaystyle [K(a):K]}$ dell'estensione ${\displaystyle K(a)/K}$, dove ${\displaystyle K(a)}$ è il sottocampo di ${\displaystyle L}$ generato da ${\displaystyle K}$ e da ${\displaystyle a}$.

Esempi

Siano ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, ${\displaystyle \mathbb {R} }$ e ${\displaystyle \mathbb {C} }$ rispettivamente i campi dei numeri razionali, reali e complessi.

• L'estensione ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Q} }$ è trascendente, perché π non è radice di nessun polinomio a coefficienti razionali.
• L'estensione ${\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {R} }$ è algebrica, perché ogni numero complesso ${\displaystyle a}$ è radice di un polinomio a coefficienti reali, ad esempio

${\displaystyle p(x)=(x-a)(x-{\bar {a}})}$

• Consideriamo il sottocampo ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$ di ${\displaystyle \mathbb {C} }$ generato da ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ e ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$. L'estensione ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q} }$ è algebrica, perché ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ è radice del polinomio a coefficienti razionali

${\displaystyle p(x)=x^{2}-2}$

• Ogni polinomio ${\displaystyle p}$ a coefficienti in ${\displaystyle K}$ definisce il suo campo di spezzamento, che è un'estensione algebrica di ${\displaystyle K}$ "generata" dalle radici di ${\displaystyle p}$.

Campi algebricamente chiusi

Un campo che non ha estensioni algebriche (oltre a sé stesso) è detto algebricamente chiuso. Un esempio è il campo dei numeri complessi.

Ogni campo ha un'estensione algebrica che è algebricamente chiusa (e la più piccola fra queste è la sua chiusura algebrica), ma dimostrare questo nel caso generale richiede una delle forme dell'assioma della scelta.

Generalizzazioni

La teoria dei modelli generalizza la nozione di estensione algebrica a teorie arbitrarie: un'immersione di ${\displaystyle M}$ in ${\displaystyle N}$ è detta estensione algebrica se per ogni ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle N}$ esiste una formula ${\displaystyle p}$ a parametri in ${\displaystyle M}$, tale che ${\displaystyle p(x)}$ è vera e l'insieme

${\displaystyle \{y\in N|p(y)\}}$

è finito. Applicando questa definizione alla teoria dei campi si ottiene l'usuale definizione di estensione algebrica. Il gruppo di Galois di ${\displaystyle N}$ su ${\displaystyle M}$ può essere ancora definito come il gruppo di automorfismi, e la maggior parte della teoria dei gruppi di Galois può essere sviluppata in questo contesto più generale.

Voci correlate

• Campo (matematica)
• Estensione di campi
• Spazio vettoriale
• Teoria di Galois
• Numero algebrico
• Campo algebricamente chiuso
• Campo di spezzamento

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Estensione algebrica, su MathWorld, Wolfram Research.
• Estensioni algebriche su progettomatematica.dm.unibo.it
• Polinomio minimo su progettomatematica.dm.unibo.it

V · D · M Algebra
Numeri	Naturali · Interi · Razionali · Irrazionali · Algebrici · Trascendenti · Reali · Complessi · Numero ipercomplesso · Numero p-adico · Duali · Complessi iperbolici
Principi fondamentali	Principio d'induzione · Principio del buon ordinamento · Relazione di equivalenza · Relazione d'ordine · Associatività della potenza
Algebra elementare	Equazione · Disequazione · Polinomio · Triangolo di Tartaglia · Teorema binomiale · Teorema del resto · Lemma di Gauss · Teorema delle radici razionali · Regola di Ruffini · Criterio di Eisenstein · Criterio di Cartesio · Disequazione con il valore assoluto · Segno · Metodo di Gauss-Seidel · Polinomio simmetrico · Funzione simmetrica
Elementi di Calcolo combinatorio	Fattoriale · Permutazione · Disposizione · Combinazione · Dismutazione · Principio di inclusione-esclusione
Concetti fondamentali di Teoria dei numeri	Primi Numero primo · Teorema dell'infinità dei numeri primi · Crivello di Eratostene · Crivello di Atkin · Test di primalità · Teorema fondamentale dell'aritmetica Divisori Interi coprimi · Identità di Bézout · MCD · mcm · Algoritmo di Euclide · Algoritmo esteso di Euclide · Criteri di divisibilità · Divisore Aritmetica modulare Teorema cinese del resto · Piccolo teorema di Fermat · Teorema di Eulero · Funzione φ di Eulero · Teorema di Wilson · Reciprocità quadratica
Teoria dei gruppi	Gruppi Gruppo (finito · ciclico · abeliano) · Gruppo primario · Gruppo quoziente · Gruppo nilpotente · Gruppo risolubile · Gruppo simmetrico · Gruppo diedrale · Gruppo semplice · Gruppo sporadico · Gruppo mostro · Gruppo di Klein · Gruppo dei quaternioni · Gruppo generale lineare · Gruppo ortogonale · Gruppo unitario · Gruppo unitario speciale · Gruppo residualmente finito · Gruppo spaziale · Gruppo profinito · Out(Fn) · Parola · Prodotto diretto · Prodotto semidiretto · Prodotto intrecciato Teoremi Alternativa di Tits · Teorema di isomorfismo · Teorema di Lagrange · Teorema di Cauchy · Teoremi di Sylow · Teorema di Cayley · Teorema di struttura dei gruppi abeliani finiti · Lemma della farfalla · Lemma del ping-pong · Classificazione dei gruppi semplici finiti Sottoinsiemi Sottogruppo · Sottogruppo normale · Sottogruppo caratteristico · Sottogruppo di Frattini · Sottogruppo di torsione · Classe laterale · Classe di coniugio · Serie di composizione Omomorfismo · Isomorfismo · Automorfismo interno · Automorfismo esterno · Permutazione · Presentazione di un gruppo · Azione di gruppo
Teoria degli anelli	Anello (artiniano · noetheriano · locale) · Caratteristica · Ideale (primo · massimale) · Dominio (a fattorizzazione unica · a ideali principali · euclideo) · Matrice · Anello semplice · Anello degli endomorfismi · Teorema di Artin-Wedderburn · Modulo · Dominio di Dedekind · Estensione di anelli · Teorema della base di Hilbert · Anello di Gorenstein · Base di Gröbner · Prodotto tensoriale · Primo associato
Teoria dei campi	Campo · Polinomio irriducibile · Polinomio ciclotomico · Teorema fondamentale dell'algebra · Campo finito · Automorfismo · Endomorfismo di Frobenius Estensioni Campo di spezzamento · Estensione di campi · Estensione algebrica · Estensione separabile · Chiusura algebrica · Campo di numeri · Estensione normale · Estensione di Galois · Estensione abeliana · Estensione ciclotomica · Teoria di Kummer Teoria di Galois Gruppo di Galois · Teoria di Galois · Teorema fondamentale della teoria di Galois · Teorema di Abel-Ruffini · Costruzioni con riga e compasso
Altre strutture algebriche	Magma · Semigruppo · Corpo · Spazio vettoriale · Algebra su campo · Algebra di Lie · Algebra differenziale · Algebra di Clifford · Gruppo topologico · Gruppo ordinato · Quasi-anello · Algebra di Boole
argomenti	Teoria delle categorie · Algebra lineare · Algebra commutativa · Algebra omologica · Algebra astratta · Algebra computazionale · Algebra differenziale · Algebra universale

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica