Estensione di Galois

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In matematica, un'estensione di Galois è un'estensione algebrica ${\displaystyle E/F}$ che soddisfa le condizioni descritte qui sotto. Il senso è che un'estensione di Galois ha un gruppo di Galois e obbedisce al teorema fondamentale della teoria di Galois. La teoria di Galois si occupa essenzialmente dello studio delle estensioni di Galois.

Definizione

L'estensione ${\displaystyle E/F}$ si dice di Galois se il campo fisso del gruppo ${\displaystyle \mathrm {Aut} (E/F)}$ degli ${\displaystyle F}$-automorfismi di ${\displaystyle E}$ è esattamente il campo di base ${\displaystyle F}$, in questo caso il gruppo ${\displaystyle \mathrm {Aut} (E/F)}$ è detto gruppo di Galois e si indica con ${\displaystyle \mathrm {Gal} (E/F)}$.

Un risultato di Emil Artin permette di costruire estensioni di Galois nel modo seguente. Se ${\displaystyle E}$ è un campo assegnato e ${\displaystyle G}$ è un gruppo finito di automorfismi di ${\displaystyle E}$, allora ${\displaystyle E/F}$ è un'estensione di Galois, e ${\displaystyle F}$ è il campo fisso di ${\displaystyle G}$.

Caratterizzazione delle estensioni di Galois

Un importante teorema di Emil Artin asserisce che un'estensione finita ${\displaystyle E/F}$ è di Galois se, e solo se sussiste una delle seguenti condizioni equivalenti:

• ${\displaystyle E/F}$ è un'estensione normale e separabile;
• ${\displaystyle E}$ è il campo di spezzamento di un polinomio separabile a coefficienti in ${\displaystyle F}$;
• ${\displaystyle [E:F]=|\mathrm {Aut} (E/F)|}$, ossia il grado dell'estensione è uguale all'ordine del gruppo degli automorfismi di ${\displaystyle E/F}$.

Se si toglie la richiesta della finitezza dell'estensione ${\displaystyle E/F}$ tale risultato si generalizza e si ha che ${\displaystyle E/F}$ è di Galois se e solo se sussiste una delle seguenti condizioni equivalenti:

• ${\displaystyle E/F}$ è un'estensione normale e separabile;
• ${\displaystyle E}$ è il campo di spezzamento di una famiglia di polinomi separabili a coefficienti in ${\displaystyle F}$.

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Estensione di Galois / Estensione di Galois (altra versione), su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Estensione di Galois, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

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