Trasformazione di Möbius

In geometria, una trasformazione di Möbius è una funzione

${\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$

dove ${\displaystyle z,a,b,c}$ e ${\displaystyle d}$ sono numeri complessi con ${\displaystyle ad-bc\neq 0}$.

La funzione è definita sulla sfera di Riemann, ed è un ingrediente fondamentale della geometria proiettiva e dell'analisi complessa. Si usano anche i termini trasformazione omografica e trasformazione lineare fratta. Il nome è legato al matematico August Ferdinand Möbius.

Una trasformazione di Möbius è una funzione

${\displaystyle f:{\widehat {\mathbb {C} }}\to {\widehat {\mathbb {C} }}}$

definita sulla sfera di Riemann

${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \},}$

della forma

${\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$

con determinante diverso da zero

${\displaystyle \det {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}=ad-bc\neq 0.}$

La condizione sul determinante è necessaria affinché la funzione sia effettivamente definita su tutta la sfera di Riemann. Valgono in particolare le relazioni

${\displaystyle f\left(-{\frac {d}{c}}\right)={\frac {ad-bc}{0}}=\infty ,}$

${\displaystyle f\left(-{\frac {b}{a}}\right)={\frac {0}{-cb+ad}}=0,}$

${\displaystyle f(\infty )={\frac {a}{c}}.}$

La trasformazione ${\displaystyle f}$ è determinata dalla matrice

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}.}$

Poiché ha determinante non nullo, la matrice è invertibile. Quindi è un elemento del gruppo generale lineare ${\displaystyle {\rm {GL}}_{2}(\mathbb {C} )}$ composto da tutte le matrici complesse invertibili ${\displaystyle 2\times 2}$.

La rappresentazione tramite matrici è molto comoda, in virtù del fatto seguente: la composizione di due trasformazioni di Möbius, descritte dalle matrici ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$, è anch'essa una trasformazione di Möbius, descritta dalla matrice ${\displaystyle BA}$.

La descrizione tramite matrici mostra che ogni trasformazione di Möbius è una funzione biettiva dalla sfera di Riemann in sé. Infatti, una trasformazione associata alla matrice ${\displaystyle A}$ ha una inversa, associata alla matrice inversa ${\displaystyle A^{-1}}$.

Per questo motivo una trasformazione di Möbius è chiamata automorfismo. Le trasformazioni di Möbius formano un gruppo, indicato con

${\displaystyle {\rm {Aut({\widehat {\mathbb {C} }}).}}}$

La rappresentazione matriciale fornisce un omomorfismo di gruppi

${\displaystyle h:{\rm {GL}}_{2}(\mathbb {C} )\to {\rm {Aut({\widehat {\mathbb {C} }}).}}}$

L'omomorfismo è suriettivo ma non iniettivo: il nucleo consiste infatti di tutte le matrici della forma ${\displaystyle \lambda I}$, dove ${\displaystyle I}$ è la matrice identità e ${\displaystyle \lambda \neq 0}$ è un numero complesso. Il primo teorema d'isomorfismo fornisce quindi un isomorfismo di gruppi

${\displaystyle {\rm {PGL}}_{2}(\mathbb {C} ):={\rm {GL}}_{2}(\mathbb {C} )/_{\sim }\cong {\rm {Aut}}({\widehat {\mathbb {C} }})}$

dove ${\displaystyle A\sim B}$ se e solo se ${\displaystyle A=\lambda B}$ per qualche ${\displaystyle \lambda }$. Il quoziente è indicato con una "P" davanti, perché questa costruzione è identica a quella dello spazio proiettivo di uno spazio vettoriale.

Ogni automorfismo di Möbius è ottenuto componendo alcune trasformazioni elementari di questo tipo:

1. ${\displaystyle f(z)=z+b\;}$      (traslazione)
2. ${\displaystyle f(z)=1/z\;}$         (inversione)
3. ${\displaystyle f(z)=az\;}$           (omotetia e rotazione)

La traslazione tiene fisso il punto all'infinito e trasla tutti i punti del piano complesso. L'inversione scambia i punti ${\displaystyle 0}$ e ${\displaystyle \infty }$. A proposito della terza trasformazione, scrivendo ${\displaystyle a}$ in coordinate polari

${\displaystyle a=re^{i\theta }\;}$

si verifica che è una rotazione di angolo ${\displaystyle \theta }$, composta con una omotetia di fattore ${\displaystyle r}$.

Un automorfismo di Möbius è una mappa conforme, una mappa cioè che preserva gli angoli. Infatti, ciascuna delle trasformazioni elementari descritte preserva gli angoli. Un automorfismo però non preserva lunghezze o aree.

Una circonferenza nella sfera di Riemann ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}}$ è una circonferenza di ${\displaystyle \mathbb {C} }$, oppure una retta di ${\displaystyle \mathbb {C} }$ completata con il punto all'infinito.

L'immagine ${\displaystyle f(C)}$ di una circonferenza ${\displaystyle C}$ tramite una funzione di Möbius ${\displaystyle f}$ è un'altra circonferenza. Le trasformazioni di Möbius mandano quindi circonferenze in circonferenze.

Questa proprietà è verificata dalle trasformazioni elementari (traslazioni, inversioni, rotazioni, omotetie), e per questo motivo è verificata da qualsiasi trasformazione.

Una trasformazione di Möbius ${\displaystyle f}$ preserva il birapporto ${\displaystyle {\rm {brp}}(z_{1},z_{2},z_{3},z_{4})}$ di quattro punti della sfera di Riemann. Vale cioè la relazione

${\displaystyle {\rm {brp}}(z_{1},z_{2},z_{3},z_{4})={\rm {brp}}(f(z_{1}),f(z_{2}),f(z_{3}),f(z_{4})).\;}$

Con il linguaggio dell'analisi complessa, un automorfismo di Möbius è una particolare funzione meromorfa, avente un polo in ${\displaystyle z=-d/c}$ di ordine 1.

Con il linguaggio della geometria proiettiva, la sfera di Riemann è identificata con la retta proiettiva complessa ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$ tramite la mappa

${\displaystyle \phi :\mathbb {CP} ^{1}\to {\widehat {\mathbb {C} }},}$

${\displaystyle \phi :[z_{0},z_{1}]\mapsto {\frac {z_{0}}{z_{1}}}.}$

Con questa identificazione, le trasformazioni di Möbius sono esattamente gli isomorfismi proiettivi della retta proiettiva complessa.

• Gruppo modulare Gamma
• Sfera di Riemann
• Retta proiettiva
• Funzione meromorfa

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sulla Trasformazione di Möbius

• Mobius, trasformazione di, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Eric W. Weisstein, Trasformazione di Möbius, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Video dimostrativo su YouTube, su youtube.com.

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