Somme de Minkowski

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Ici, E désigne un espace euclidien de dimension n.

• Si P est un polyèdre compact et convexe de E, la fonction qui à (s, t) associe la mesure μ(s.P + t.B) est un polynôme homogène de degré n :

Notons M cette mesure. M est la somme de la mesure μ(s.P) et de la croute ajoutée par la somme de t.B. Le terme associé à la mesure de μ(s.P) est une constante que multiplie sⁿ.

Sur chaque face, on trouve un hypercube H_i¹ de dimension n, de base la face en question et de hauteur t de dimension n - 1 et de mesure le produit d'une constante et de s^n-1. Chacune de ces faces contribue au volume μ(P + t.B) sous la forme d'une expression linéaire en s^n-1.t.

Entre ces hypercubes, on trouve des interstices H_j², ayant la forme d'un prisme, d'arête l'intersection de deux faces, et de dimension n - 2, dont la mesure est le produit d'une constante avec s^n-2 et de côtés deux faces d'hypercubes H_i¹ ayant une arête de longueur t, le sommet un composé du produit d'un disque de rayon t et d'un hypercube isomorphe à l'arête. Ces prismes sont donc des portions de cylindre d'axe un hypercube de dimension n - 2 et de rayon r. Chacune de ces portions de cylindre contribue au volume μ(P + t.B) sous la forme d'une expression en s^n-2.t².

Les arêtes de dimension n - 2 ont comme extrémités des hypercubes de dimension n - 3 qui laissent place à des interstices, laissée vacant par les solides H_i¹ et H_j². Ces interstices H_k³, sont remplis par des primes, d'arêtes les intersections des arêtes précédentes, sont de dimension n - 3 et de mesure le produit d'une constante et de s^n-3. Ces primes correspondent à des portions de produit de boule de dimension 3 et d'hypercubes arêtes de dimension n - 3. Leur somme correspond à une expression en s^n-3.t³.

On continue ainsi jusqu'à la dimension 1, l'intersection des arêtes est alors de dimension 0 et correspond à un point. L'interstice correspond à une portion de boule, dont l'expression est le produit d'une constante par tⁿ.

Le terme en sⁿ correspond à la mesure de P, celui en s^n-1.t à la mesure de la surface de P. Si s est égal à 0, on remarque que le volume est celui d'une boule de rayon t, la constante est celle associée au volume n dimensionnel d'une sphère.

• Si C est un compact, convexe non vide de E, la fonction qui à (s, t) associe la mesure μ(s.C + t.B) est un polynôme homogène de degré n :

Soit (C_p) une suite décroissante de polyèdres convexes dont la limite, au sens de Hausdorff, est égale à C. Le paragraphe ensemble dense de l'article Distance de Hausdorff montre qu'une telle suite existe. Soit P_p(s, t) le polynôme homogène de degré n qui à (s, t) associe μ(s.C_p + t.B), l'objectif est de montrer que la suite (P_p) converge simplement.

La suite (s.C_p + t.B) est une suite de compacts, décroissante pour l'inclusion, elle est nécessairement convergente au sens de Hausdorff, montrons que la limite est égale à s.C + t.B. Tout ensemble de la suite contient s.C + t.B, la limite contient donc cet ensemble. Réciproquement si y n'est pas élément de s.C + t.B, il existe un nombre réel strictement positif ε tel que la boule de centre y et de rayon ε ait une intersection nulle avec s.C + t.B car cet ensemble est fermé. On en déduit que tout élément de s.C_n est à une distance supérieure à t + ε de y. Si s n'est pas nul, cela signifie aussi que y est à une distance supérieure à (t + ε)/s de C. À partir d'un certain N, pour toute valeur de p plus grande que N, C_p est à une distance de y strictement supérieure à t/s, et s.C_p + t.B ne peut contenir y. Si s est nul, la suite s.C_p + t.B est constante égale à t.B et est trivialement convergente.

Comme la suite (s.C_p + t.B) est une suite de compacts strictement décroissante, de limite s.C + t.B, et que la fonction μ est semi-continue supérieurement, la suite μ(s.C_p + t.B) est convergente (cf le paragraphe Fonctions continues de l'article Distance de Hausdorff). Ce qui signifie exactement que la suite (P_p) converge simplement.

Chaque polynôme de la suite (P_p) est un polynôme homogène de degré n, cette suite fait partie de l'espace vectoriel des polynômes à deux variables de degré inférieur à n et est de dimension finie. Sur cet espace, la topologie de la convergence simple est compatible avec l'addition et la multiplication externe, ce qui signifie que ces deux opérations sont continues. Or, sur un espace vectoriel réel de dimension finie, il n'existe qu'une topologie compatible avec ses deux opérations, (cf topologie d'un espace vectoriel de dimension finie). Cette topologie est induite par n'importe quelle norme, par exemple celle de la convergence uniforme sur le disque de rayon r, où r désigne un nombre réel strictement positif. L'espace vectoriel des polynômes à deux variables homogènes et de degré n est complet pour cette norme, ce qui montre que la suite (P_p) converge vers un polynôme P homogène de degré n.

Cette limite P est, par construction, la fonction qui à (s, t) associe μ(s.C + t.B), ce qui démontre la proposition.

L'espace E est équipé d'une base orthonormée, puis il est quadrillé par une grille composée d'hyperplans dont les directions sont orthogonales à un des vecteurs de la base. Ces hyperplans sont régulièrement espacés, avec un pas de 1/2^p, ou p est un entier strictement positif. Cette grille pave l'espace à l'aide de petits hypercubes d'arêtes de longueur 1/2^p. La mesure de Lebesgue choisie est celle qui associe à un hypercube de côté de longueur 1 la valeur 1.

Ces hypercubes permettent d'approximer un compact. Par exemple, sur la figure de droite un pentagone régulier est approximé par des carrés bleus. Affiner la grille revient à choisir une valeur plus élevée pour p. La figure de droite illustre aussi une deuxième approximation par des petits carrés rouges obtenu pour un incrément de 1 de la valeur p. L'article Distance de Hausdorff montre que cette technique permet de construire une suite (A_n) de compacts contenant A et approximant de plus en plus précisément A, au sens de la distance de Hausdorff.

La démonstration proposée ici^[11] se déroule en trois temps. Dans un premier temps, on la démontre dans le cas où A est un hypercube de la grille et B un hypercube inclus dans un de ceux de la grille et dont les arêtes sont toutes de longueur a = 1/2^p sauf celles parallèles au premier vecteur de la base qui sont de longueur λ.a. Ici, λ désigne un nombre réel strictement positif et plus petit que 1.

• Dans le cas où A et B sont deux hypercubes décrits ci-dessus, la majoration de Brunn-Minkowski est vérifiée :

Le cas est suffisamment simple pour permettre un calcul effectif des trois mesures.

${\displaystyle \mu (A)^{\frac {1}{n}}=a={\frac {1}{2^{p}}},\quad \mu (B)=\lambda ^{\frac {1}{n}}a\;{\text{et}}\quad \mu (A+B)^{\frac {1}{n}}=(1+\lambda )^{\frac {1}{n}}2^{\frac {n-1}{n}}a\;}$

Démontrer la majoration dans le cas présent revient à montrer que la fonction f de ${\displaystyle ]0,1]}$ dans R, où R désigne l'ensemble des nombres réels, est strictement positif, sur ${\displaystyle ]0,1[}$ et nulle en 1.

${\displaystyle \forall t\in ]0,1]\quad f(t)=(1+\lambda )^{\frac {1}{n}}2^{\frac {n-1}{n}}-\lambda ^{\frac {1}{n}}-1\;}$

Il est clair que la fonction f est nulle au point 1, il suffit de montrer qu'elle est strictement décroissante pour conclure. La fonction f est dérivable sur ${\displaystyle ]0,1[}$, il suffit de montrer que sa dérivée est strictement négative, ce qui se vérifie aisément.

${\displaystyle \forall t\in ]0,1[\quad f'(t)={\frac {1}{n}}\left(\left({\frac {2}{1+\lambda }}\right)^{\frac {n-1}{n}}-\left({\frac {1}{\lambda }}\right)^{\frac {n-1}{n}}\right)={\frac {1}{n\lambda ^{\frac {n-1}{n}}}}\left(\left({\frac {2\lambda }{1+\lambda }}\right)^{\frac {n-1}{n}}-1\right)<0}$

On suppose maintenant que A et B sont deux unions finies d'intérieurs d'hypercubes de la grille ou de partie d'hypercubes ouverts dont une des coordonnées est comprise entre 1/2^p.(δ + λ) et 1/2^p.(δ + 1). C'est-à-dire que les hypercubes sont du type de la proposition précédente. Les valeurs q et r désignent le nombre d'hypercubes composant respectivement A et B.

• Dans le cas où A et B sont deux compacts de la forme décrite ci-dessus, la majoration de Brunn-Minkowski est vérifiée :

On raisonne par récurrence sur l'entier s égal à la somme de q et de r. Si s est égal à 2, le résultat est une conséquence directe de la proposition précédente.

On suppose le résultat établi jusqu'à une valeur s₀ et on suppose que la somme de q et de r est égale à s₀ + 1. On sépare l'espace euclidien E en deux connexes par un des hyperplans H_A orthogonal à l'un des vecteurs de la base orthonormale qui définit la grille. Il existe un hyperplan de cette nature qui décompose A en deux ouverts disjoints A₁ et A₂ tel que A₂ comporte au moins un hypercube et tel que A₁ ne soit pas l'ensemble vide. A₁ et A₂ sont alors composés d'au plus de q - 1 hypercubes. On note θ le nombre réel strictement positif suivant :

${\displaystyle \theta ={\frac {\mu (A_{1})}{\mu (A)}}={\frac {\mu (A_{1})}{\mu (A_{1})+\mu (A_{2})}}}$

On sépare B en deux ensembles B₁ et B₂ par un hyperplan H_B parallèle au précédent, de telle manière à ce que :

${\displaystyle {\frac {\mu (B_{1})}{\mu (B)}}={\frac {\mu (B_{1})}{\mu (B_{1})+\mu (B_{2})}}=\theta }$

Ni B₁ et B₂ ne contiennent de vecteurs de l'hyperplan H_B, en conséquence, B contient mais n'est pas nécessairement égal à l'union de B₁ et B₂, mais comme un sous ensemble inclus dans un hyperplan est de mesure nulle, l'égalité précédente est vérifiée. Cette fois ci, rien ne prouve que B₁ et B₂ contiennent moins d'hypercubes que B, mais il est certain qu'ils n'en contiennent pas plus. Les propriétés de la somme de Minkowski montrent que :

${\displaystyle A+B\supset (A_{1}\cup A_{2})+(B_{1}\cup B_{2})=(A_{1}+B_{1})\;\cup \;(A_{1}+B_{2})\;\cup \;(A_{2}+B_{1})\;\cup \;(A_{2}+B_{2})}$

Considérons le vecteur de la base orthonormale orthogonale aux deux hyperplans H_A et H_B, les coordonnées sur ce vecteur de tout élément de A₁ + B₁ sont strictement plus petites que celles des vecteurs de A₂ + B₂, ce qui montre que les deux ensembles sont disjoints et :

${\displaystyle \mu (A+B)\geq \mu (A_{1}+B_{1})+\mu (A_{2}+B_{2})\;}$

Comme A₁ et A₂ contiennent strictement moins que q petits hypercubes et que B₁ et B₂ n'en contiennent pas plus que r, il est possible d'appliquer l'hypothèse de récurrence :

${\displaystyle \mu (A+B)\geq \left(\mu (A_{1})^{\frac {1}{n}}+\mu (B_{1})^{\frac {1}{n}})\right)^{n}+\left(\mu (A_{2})^{\frac {1}{n}}+\mu (B_{2})^{\frac {1}{n}})\right)^{n}}$

Ce que l'on peut encore écrire :

${\displaystyle \mu (A+B)\geq \left((\theta \mu (A))^{\frac {1}{n}}+(\theta \mu (B))^{\frac {1}{n}})\right)^{n}+\left(((1-\theta )\mu (A))^{\frac {1}{n}}+((1-\theta )\mu (B))^{\frac {1}{n}})\right)^{n}=(\theta +1-\theta )\left(\mu (A)^{\frac {1}{n}}+\mu (B)^{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$

Ce qui montre la majoration qui termine la démonstration :

${\displaystyle \mu (A+B)\geq \left(\mu (A)^{\frac {1}{n}}+\mu (B)^{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$

Il est maintenant possible de prouver la majoration de Brunn-Minkowski dans le cas général. On utilise pour cela un passage à la limite utilisant la distance de Hausdorff. Soit ε un réel strictement positif et A et B deux compacts de E. L'objectif de la démonstration est de montrer que la somme de la mesure de A + B et de ε majore bien le deuxième membre de l'inégalité. On utilise trois propriétés démontrées dans l'article Distance de Hausdorff.

• Si A et B sont deux compacts non vides, l'inégalité de Brunn-Minkowski est vérifiée :

Dans un premier temps, on utilise la semi-continuité supérieure de la fonction mesure pour la distance de Hausdorff. Si E_H désigne l'ensemble des compacts non vides de E et d la distance de Hausdorff :

${\displaystyle \exists \eta >0\quad \forall C\in E_{H}\quad d(A+B,C)<\eta \Rightarrow \mu (A+B)+\epsilon >\mu (C)}$

Il s'agit maintenant de construire le bon ensemble C. On utilise l'existence de deux ensembles A_ε et B_ε compacts contenant strictement A et B et tel que :

${\displaystyle \mu (A_{\epsilon })\leq \mu (A)+{\frac {\eta }{2}}\quad {\text{et}}\quad \mu (B_{\epsilon })\leq \mu (B)+{\frac {\eta }{2}}}$

Les deux ensembles A_ε et B_ε sont des unions finies d'hypercubes fermés de la grille, pour une valeur de p suffisamment élevée. L'existence de tels ensembles provient du fait que les unions finies d'hypercubes fermés pris dans la grille forment un ensemble dense si p décrit les entiers positifs. La démonstration de la continuité de la somme de Minkowski pour la distance de Hausdorff (cf l'article Distance de Hausdorff) montre que :

${\displaystyle d\left(A+B,A_{\epsilon }+B_{\epsilon }\right)\leq \eta \;}$

On choisit C égal à la somme de A_ε et B_ε, ce qui montre que :

${\displaystyle \mu (A+B)+\epsilon >\mu \left(A_{\epsilon }+B_{\epsilon }\right)\;}$

On retire à l'ensemble A_ε + B_ε son intersection avec les hyperplans de la grille, ce qui ne modifie pas sa mesure. On se trouve alors dans les hypothèses de la proposition précédente et :

${\displaystyle \mu (A+B)+\epsilon >\mu \left(A_{\epsilon }+B_{\epsilon }\right)\geq \mu \left(A_{o\epsilon }+B_{o\epsilon }\right)\geq \left(\mu (A_{o\epsilon })^{\frac {1}{n}}+\mu (B_{o\epsilon })^{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$

Ici, A_oε et B_oε désignent les ensembles A_ε et B_ε ôtés de leurs intersections avec les hyperplans de la grille. Rajouter cette intersection ne modifie en rien les mesures, ce qui montre que :

${\displaystyle \mu (A+B)+\epsilon >\left(\mu (A_{\epsilon })^{\frac {1}{n}}+\mu (B_{\epsilon })^{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$

Par hypothèse, les ensembles A_ε et B_ε contiennent A et B. Leur mesure est plus grande, et :

${\displaystyle \mu (A+B)+\epsilon >\left(\mu (A)^{\frac {1}{n}}+\mu (B)^{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$

Cette majoration est vraie pour toute valeur de ε strictement positive, ce qui montre le résultat cherché^[12].

1. ↑ B. Teissier, Volumes des corps convexes, géométrie et algèbre, Institut de Mathématiques de Jussieu. Leçon donnée le jeudi 7 octobre 1999, Rédigée par C. Reydy, p. 8.
2. ↑ Cet exemple est tiré de Marcel Berger et Bernard Gostiaux, Géométrie différentielle : variétés, courbes et surfaces [détail des éditions] p. 226.
3. ↑ Pour plus de détails, voir : (en) Herbert Federer, Geometric Measure Theory, Springer-Verlag, 1969 (ISBN 978-3-540-60656-7), 3.2.37, 3.2.39, 3.2.26.
4. ↑ (en) A. D. Alexandrov, Selected Works, CRC, 2002 (ISBN 2881249841).
5. ↑ (de) H. Brunn, Über Ovale und Eiflächen, Munich, 1887 (thèse).
6. ↑ (de) Hermann Minkowski, Geometrie der Zahlen, Leipzig, Teubner, 1896.
7. ↑ (de) Lazar A. Lyusternik, « Die Brunn–Minkowskische Ungleichnung für beliebige messbare Mengen », C.R. Acad. Sci. URSS, vol. 8,‎ 1935, p. 55-58.
8. ↑ Bernard Maurey, « Inégalité de Brunn-Minkowski-Lusternik, et autres inégalités géométriques et fonctionnelles », Séminaire Bourbaki, t. 46,‎ 2003-2004, p. 95-114 (lire en ligne).
9. ↑ (en) Jiří Matoušek, Lectures on Discrete Geometry [détail des éditions], p. 297.
10. ↑ Frank Barthe, « L’inégalité de Brunn-Minkowski », sur Images des mathématiques, 2006.
11. ↑ Elle s'inspire directement d'une généralisation en dimension n de celle-ci, en dimension 2 : (en) A. Treibergs, Inequalities that Imply the Isoperimetric Inequality, Université d'Utah, p. 16.
12. ↑ Une démonstration en dimension n est proposée à : (en) R. J. Gardner, « The Brunn-Minkowski inequality », dans Bull. (New Series) Amer. Math. Soc., vol. 39, n° 3, 2002, p. 363.