Endomorphisme linéaire

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En mathématiques, un endomorphisme linéaire ou endomorphisme d'espace vectoriel est une application linéaire d'un espace vectoriel dans lui-même.

L'ensemble des endomorphismes d'un espace vectoriel E est habituellement noté End(E) ou L(E).

Propriétés des endomorphismes

Les endomorphismes vérifient les propriétés générales à toutes les applications linéaires ; par exemple : l'ensemble L(E, F) des applications linéaires d'un K-espace vectoriel dans un autre est un K-espace vectoriel muni de la loi d'addition des fonctions et de la multiplication externe par un scalaire de K, et donc, en particulier (puisque L(E) = L(E, E)), (L(E), +, ∙) est un K-espace vectoriel. Lorsqu'on ajoute la loi de composition des applications, L(E) est une algèbre non commutative.

Signalons la formule du binôme qui est vérifiée lorsque deux endomorphismes f et g de E commutent : ${\displaystyle (f+g)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{{\binom {n}{k}}f^{k}\circ g^{n-k}}.}$

En dimension finie

Lorsque l'espace vectoriel est de dimension finie, l'étude d'un endomorphisme se ramène immédiatement à celle de sa matrice par rapport à une base donnée. La matrice obtenue est une matrice carrée. Souvent, la même base de E est considérée au départ et à l'arrivée.

Diagonalisation

En dimension finie, la diagonalisation d'un endomorphisme consiste à trouver une base dans laquelle la matrice de l'endomorphisme s'écrit sous une forme diagonale. De manière générale, tous les endomorphismes ne sont pas diagonalisables, il est possible dans certains cas tout au plus de les trigonaliser. L'intérêt de la diagonalisation est de pouvoir étudier facilement un endomorphisme, de calculer aisément ses puissances n-ièmes, de rechercher ses racines carrées, etc.

v · m Algèbre linéaire générale
Vecteur Scalaire Combinaison linéaire Espace vectoriel Matrice
Famille de vecteurs	Famille génératrice Famille libre (indépendance linéaire) Base Théorème de la base incomplète Théorème de la dimension pour les espaces vectoriels Rang Colinéarité
Sous-espace	Sous-espace vectoriel Somme de Minkowski Somme directe Sous-espace supplémentaire Dimension Codimension Droite Plan Hyperplan
Morphisme et notions relatives	Application linéaire Noyau Conoyau Lemme des noyaux Pseudo-inverse Théorème de factorisation Théorème du rang Équation linéaire Système d'équations linéaires Élimination de Gauss-Jordan Forme linéaire Espace dual Orthogonalité Base duale Endomorphisme linéaire Valeur propre, vecteur propre et espace propre Projecteur Symétrie Matrice diagonalisable Diagonalisation Endomorphisme nilpotent
Dimension finie	Espace vectoriel de dimension finie Trace Déterminant Polynôme caractéristique Polynôme d'endomorphisme Théorème de Cayley-Hamilton Polynôme minimal d'un endomorphisme Invariants de similitude Réduction d'endomorphisme Réduction de Jordan Décomposition de Dunford Décomposition de Frobenius
Enrichissements de structure	Norme Produit scalaire Forme quadratique Espace vectoriel topologique Orientation Algèbre sur un corps Algèbre de Lie Complexe différentiel
Développements	Théorie des matrices Représentation de groupe Analyse fonctionnelle Algèbre multilinéaire Module sur un anneau

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