Algèbre sur un corps

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En mathématiques, et plus précisément en algèbre générale, une algèbre sur un corps commutatif K, ou simplement une K-algèbre, est une structure algébrique (A, +, ·, ×) telle que :

1. (A, +, ·) est un espace vectoriel sur K ;
2. la loi × est définie de A × A dans A (loi de composition interne) ;
3. la loi × est bilinéaire.

Définitions

Une algèbre sur un corps commutatif K est un K-espace vectoriel A muni d'une opération binaire × (c'est-à-dire que le « produit » x×y de deux éléments de A est un élément de A) bilinéaire, ce qui signifie que pour tous vecteurs x, y, z dans A et tous scalaires a, b dans K, les égalités suivantes sont vraies :

• (x + y) × z = x × z + y × z ;
• x × (y + z) = x × y + x × z ;
• (a x) × (b y) = (a b) (x × y).

Les deux premières égalités traduisent la distributivité de la loi × par rapport à la loi +.

On dit que K est le corps de base de A. L'opérateur binaire est souvent désigné comme la multiplication dans A.

Un morphisme entre deux algèbres A et B sur K est une application f : A → B telle que

Deux algèbres A et B sur K sont dites isomorphes s'il existe une bijection de A dans B qui soit un morphisme d'algèbres.

Généralisation

Dans la définition, K peut être un anneau commutatif unitaire, et A un K-module. Alors, A est encore appelée une K-algèbre et on dit que K est l'anneau de base de A.

Algèbres associatives, algèbres commutatives et algèbres unifères

• Une algèbre associative est une algèbre sur un anneau dont la loi de composition interne × est associative. Lorsque cet anneau est un corps, il s'agit donc d'une algèbre associative sur un corps.
• Une algèbre commutative est une algèbre sur un anneau dont la loi de composition interne × est commutative.
• Une algèbre unifère^[1] est une algèbre sur un anneau dont la loi de composition interne × admet un élément neutre, noté 1.

Bases et tables de multiplication d'une algèbre sur un corps

Une base d'une algèbre A sur un corps K est une base de A pour sa structure d'espace vectoriel^[2].

Si ${\displaystyle a=(a_{k})_{k\in I}}$ est une base de A, il existe alors une unique famille ${\displaystyle (c_{i,j}^{k})_{i,j,k\in I}}$ d'éléments du corps K tels que :

${\displaystyle \displaystyle a_{i}\times a_{j}=\sum _{k\in I}c_{i,j}^{k}a_{k}.}$

Pour i et j fixés, les coefficients sont nuls sauf un nombre fini d'entre eux. On dit que ${\displaystyle (c_{i,j}^{k})_{i,j,k\in I}}$ sont les constantes de structure^[2] de l'algèbre A par rapport à la base a, et que les relations ${\displaystyle a_{i}\times a_{j}=\sum _{k\in I}c_{i,j}^{k}a_{k}}$ constituent la table de multiplication de l'algèbre A^[2] pour la base a.

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Exemple d'algèbre de dimension infinie

Soit ${\displaystyle U}$ un ouvert de ${\displaystyle {\mathbb {C}}}$. L'ensemble des fonctions analytiques dans ${\displaystyle U}$ est une ${\displaystyle {\mathbb {C}}}$-algèbre.

Exemples d'algèbres de dimension finie

Algèbres associatives et commutatives

Nombres complexes

L'ensemble des nombres complexes (ℂ, + , ·, × ) est une ℝ-algèbre associative, unifère et commutative de dimension 2. Une base de l'algèbre ℂ est constituée des éléments 1 et i. La table de multiplication est constituée des relations :

Corps finis

Tout corps fini est une algèbre associative, unifère et commutative de dimension n sur son sous-corps premier (F_p = ℤ/pℤ), donc son ordre est pⁿ.

Par exemple le corps fini F₄ est une algèbre de dimension 2 sur le corps F₂ = ℤ/2ℤ dont la table de multiplication dans une base (1, a) est :

Algèbres quadratiques

On peut démontrer que toute algèbre unifère de dimension 2 sur un corps est associative et commutative^[3]. Sa table de multiplication dans une base (1, x) est de la forme :

Une telle algèbre est appelée algèbre quadratique de type (a, b) (le type pouvant dépendre de la base choisie).

Par exemple : ℂ est une ℝ-algèbre quadratique de type (–1, 0) pour la base (1, i) et F₄ est une F₂-algèbre quadratique de type (1, 1).

Algèbres associatives et non commutatives

Matrices carrées

L'ensemble ${\displaystyle \left({\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {R} ),+,\cdot ,\times \right)}$ des matrices carrées d'ordre n ≥ 2 à coefficients réels est une ℝ-algèbre associative, unifère et non commutative de dimension n².

Quaternions

L'ensemble (ℍ, + , ·, × ) des quaternions est une ℝ-algèbre associative, unifère et non commutative de dimension 4.

Biquaternions

L'ensemble ${\displaystyle \scriptstyle (\mathbb {B} ,+,\cdot ,\times )}$ des biquaternions est une ℂ-algèbre associative, unifère et non commutative de dimension 4 qui est isomorphe à l'algèbre ${\displaystyle \left({\mathcal {M}}_{2}(\mathbb {C} ),+,\cdot ,\times \right)}$ des matrices carrées d'ordre 2 à coefficients complexes.

Algèbre unifère non associative

L'ensemble des octonions ${\displaystyle \scriptstyle (\mathbb {O} ,+,\cdot ,\times )}$ est une ℝ-algèbre unifère non associative et non commutative de dimension 8.

Algèbres non associatives et non unifères

Produit vectoriel

L'espace euclidien ℝ³ muni du produit vectoriel, ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{3},+,\cdot ,\wedge )}$, est une ℝ-algèbre non associative, non unifère et non commutative (elle est anti-commutative) de dimension 3.

La table de multiplication dans une base orthonormale directe (${\displaystyle {\vec {u}}}$, ${\displaystyle {\vec {v}}}$, ${\displaystyle {\vec {w}}}$) est :

	${\displaystyle {\vec {u}}}$	${\displaystyle {\vec {v}}}$	${\displaystyle {\vec {w}}}$
${\displaystyle {\vec {u}}}$	${\displaystyle {\vec {u}}\wedge {\vec {u}}={\vec {0}}}$	${\displaystyle {\vec {u}}\wedge {\vec {v}}={\vec {w}}}$	${\displaystyle {\vec {u}}\wedge {\vec {w}}=-{\vec {v}}}$
${\displaystyle {\vec {v}}}$	${\displaystyle {\vec {v}}\wedge {\vec {u}}=-{\vec {w}}}$	${\displaystyle {\vec {v}}\wedge {\vec {v}}={\vec {0}}}$	${\displaystyle {\vec {v}}\wedge {\vec {w}}={\vec {u}}}$
${\displaystyle {\vec {w}}}$	${\displaystyle {\vec {w}}\wedge {\vec {u}}={\vec {v}}}$	${\displaystyle {\vec {w}}\wedge {\vec {v}}=-{\vec {u}}}$	${\displaystyle {\vec {w}}\wedge {\vec {w}}={\vec {0}}}$

Crochet de Lie

L'ensemble des matrices carrées d'ordre n ≥ 2 à coefficients réels, muni du crochet de Lie : ${\displaystyle [M,N]=MN-NM}$, ${\displaystyle \left({\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {R} ),+,\cdot ,[,]\right)}$ est une ℝ-algèbre non associative, non unifère et non commutative de dimension n². Elle est anti-commutative et possède des propriétés qui font de l'algèbre une algèbre de Lie.

Contre-exemple

La ℝ-algèbre (ℍ, + , ·, × ) des quaternions est un ℂ-espace vectoriel, mais n'est pas une ℂ-algèbre car la multiplication × n'est pas ℂ-bilinéaire : i·(j × k) ≠ j × (i·k).

Voir aussi

• Algèbre de Clifford
• Algèbre géométrique
• Algèbre de Lie

Notes et références

v · m Algèbre linéaire générale
Vecteur Scalaire Combinaison linéaire Espace vectoriel Matrice
Famille de vecteurs	Famille génératrice Famille libre (indépendance linéaire) Base Théorème de la base incomplète Théorème de la dimension pour les espaces vectoriels Rang Colinéarité
Sous-espace	Sous-espace vectoriel Somme de Minkowski Somme directe Sous-espace supplémentaire Dimension Codimension Droite Plan Hyperplan
Morphisme et notions relatives	Application linéaire Noyau Conoyau Lemme des noyaux Pseudo-inverse Théorème de factorisation Théorème du rang Équation linéaire Système d'équations linéaires Élimination de Gauss-Jordan Forme linéaire Espace dual Orthogonalité Base duale Endomorphisme linéaire Valeur propre, vecteur propre et espace propre Projecteur Symétrie Matrice diagonalisable Diagonalisation Endomorphisme nilpotent
Dimension finie	Espace vectoriel de dimension finie Trace Déterminant Polynôme caractéristique Polynôme d'endomorphisme Théorème de Cayley-Hamilton Polynôme minimal d'un endomorphisme Invariants de similitude Réduction d'endomorphisme Réduction de Jordan Décomposition de Dunford Décomposition de Frobenius
Enrichissements de structure	Norme Produit scalaire Forme quadratique Espace vectoriel topologique Orientation Algèbre sur un corps Algèbre de Lie Complexe différentiel
Développements	Théorie des matrices Représentation de groupe Analyse fonctionnelle Algèbre multilinéaire Module sur un anneau

v · m Structures algébriques
Pures	Magmas Groupe Quasigroupe Demi-groupe Monoïde Groupe abélien Moduloïdes Espace vectoriel Espace affine Groupe à opérateurs Module sur un anneau Annélides Anneau non associatif (en) Pseudo-anneau Demi-anneau Dioïde Anneau unitaire commutatif sans diviseur de zéro intègre Corps commutatif gauche Algèbre Algèbre associative Algèbre sur un corps Algèbre associative sur un corps Algèbre unitaire Algèbre à division Algèbre de Clifford Algèbre de Jordan Algèbre de Lie Autres Algèbre de Hopf Espace homogène
Enrichies	Espace topologique Semi-groupe topologique Monoïde topologique (en) Groupe topologique Anneau topologique Corps topologique Corps valué Module topologique (en) Espace vectoriel topologique Algèbre topologique (en) Espaces métriques Espace vectoriel normé Espace de Banach Espace préhilbertien Espace euclidien Espace hermitien Espace de Hilbert Géométrie différentielle et algébrique Groupe de Lie Groupe algébrique

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