Polinomio caratteristico

In algebra lineare il polinomio caratteristico di una matrice quadrata su un campo è un polinomio definito a partire dalla matrice che ne descrive molte proprietà essenziali.

Il polinomio caratteristico è un oggetto che dipende solo dalla classe di similitudine di una matrice, e pertanto fornisce molte informazioni sulla natura intrinseca delle trasformazioni lineari, caratterizzate attraverso la traccia e il determinante. In particolare, le radici del polinomio sono gli autovalori della trasformazione lineare associata alla matrice. I coefficienti del polinomio sono pertanto detti invarianti della matrice e dell'applicazione ad essa associata.

Il polinomio è anche utilizzato per determinare la forma canonica di luoghi geometrici esprimibili mediante matrici, come coniche e quadriche.

Definizione

Sia A {\displaystyle A} una matrice quadrata a valori in un campo K {\displaystyle K} . Il polinomio caratteristico di A {\displaystyle A} nella variabile x {\displaystyle x} è il polinomio definito nel modo seguente:[1]

p A ( x ) = det ( A − x I ) {\displaystyle p_{A}(x)\,=\,\det(A-xI)}

cioè è il determinante della matrice A − x I {\displaystyle A-xI} , ottenuta sommando A {\displaystyle A} e − x I {\displaystyle -xI} . Qui I {\displaystyle I} denota la matrice identità, avente la stessa dimensione di A {\displaystyle A} , e quindi − x I {\displaystyle -xI} è la matrice diagonale avente il valore − x {\displaystyle -x} su ciascuna delle n caselle della diagonale principale.

In particolare, x {\displaystyle x} è autovalore di A {\displaystyle A} se e solo se è radice del suo polinomio caratteristico.[2]

Grado e coefficienti del polinomio

Sia A {\displaystyle A} una matrice quadrata di ordine n {\displaystyle n} . Il polinomio caratteristico di A {\displaystyle A} ha grado n {\displaystyle n} . Alcuni dei suoi coefficienti sono (a meno di segno) quantità notevoli per la matrice, come la traccia ed il determinante:

p A ( x ) = ( − 1 ) n x n + ( − 1 ) n − 1 tr ( A ) x n − 1 + … + det A {\displaystyle p_{A}(x)=(-1)^{n}x^{n}+(-1)^{n-1}{\textrm {tr}}(A)x^{n-1}+\ldots +\det A}

Il coefficiente di x k {\displaystyle x^{k}} del polinomio è la somma moltiplicata per ( − 1 ) k {\displaystyle (-1)^{k}} dei ( n k ) {\displaystyle {n \choose k}} determinanti dei minori ( n − k ) × ( n − k ) {\displaystyle (n-k)\times (n-k)} "centrati" sulla diagonale.

Ad esempio, se A {\displaystyle A} è una matrice 2 per 2 si ha:

p A ( x ) = x 2 − tr ( A ) x + det A {\displaystyle p_{A}(x)=x^{2}-{\textrm {tr}}(A)x+\det A}

Autovalori

Lo stesso argomento in dettaglio: Autovettore e autovalore.

Le radici in K {\displaystyle K} del polinomio caratteristico sono gli autovalori di A {\displaystyle A} .[2]

Questo si dimostra formalmente ponendo v {\displaystyle v} autovettore di A {\displaystyle A} . Si ha allora A v = λ v {\displaystyle Av=\lambda v} , ed in particolare:

( A − λ I ) v = 0 {\displaystyle (A-\lambda I)v=0}

Si ha quindi che il nucleo dell'applicazione ( A − λ I ) {\displaystyle (A-\lambda I)} è non nullo se λ {\displaystyle \lambda } è autovalore, e tale condizione è soddisfatta se e solo se:

det ( A − λ I ) = 0 {\displaystyle \det(A-\lambda I)=0}

Se A {\displaystyle A} è una matrice triangolare (superiore o inferiore) avente i valori a 1 , 1 , … , a n , n {\displaystyle a_{1,1},\ldots ,a_{n,n}} sulla diagonale principale, allora:

p A ( x ) = ( a 1 , 1 − x ) ⋯ ( a n , n − x ) {\displaystyle p_{A}(x)=(a_{1,1}-x)\cdots (a_{n,n}-x)}

Quindi il polinomio caratteristico di una matrice triangolare ha n {\displaystyle n} radici nel campo, date dai valori nella diagonale principale. In particolare, questo fatto è vero per le matrici diagonali.

Invarianza per similitudine e diagonalizzabilità

Lo stesso argomento in dettaglio: Diagonalizzabilità e Similitudine fra matrici.

Due matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico.[3] Infatti, se:

A = M − 1 B M {\displaystyle A=M^{-1}BM}

per qualche matrice invertibile M {\displaystyle M} , si ottiene:

p A ( x ) = det ( A − x I ) = det ( M − 1 B M − x I ) {\displaystyle p_{A}(x)=\det(A-xI)=\det(M^{-1}BM-xI)}
= det ( M − 1 B M − x M − 1 M ) = det ( M − 1 B M − M − 1 ( x I ) M ) = det ( M − 1 ( B − x I ) M ) {\displaystyle =\det(M^{-1}BM-xM^{-1}M)=\det(M^{-1}BM-M^{-1}(xI)M)=\det(M^{-1}(B-xI)M)}
= det ( M − 1 ) det ( B − x I ) det M = ( det M ) − 1 p B ( x ) det M = p B ( x ) {\displaystyle =\det(M^{-1})\det(B-xI)\det M=(\det M)^{-1}p_{B}(x)\det M=p_{B}(x)}

In tale catena di uguaglianze si fa uso del fatto che la matrice della forma x I {\displaystyle xI} commuta con qualsiasi altra e del teorema di Binet.

Poiché due matrici che rappresentano un endomorfismo T {\displaystyle T} di uno spazio vettoriale V {\displaystyle V} a dimensione finita sono simili, il polinomio caratteristico è una grandezza intrinseca di T {\displaystyle T} che riassume molte delle caratteristiche dell'endomorfismo considerato, come traccia, determinante ed autovalori. Come conseguenza di questo fatto si ha che T {\displaystyle T} è diagonalizzabile se esiste una base di V {\displaystyle V} rispetto alla quale la matrice che rappresenta T {\displaystyle T} è diagonale, e gli elementi della diagonale sono gli autovalori.[4] In particolare, la base che diagonalizza T {\displaystyle T} è composta da suoi autovettori.

Il teorema di diagonalizzabilità fornisce, inoltre, un criterio necessario e sufficiente che permette di stabilire se un'applicazione lineare è diagonalizzabile. Una matrice quadrata A {\displaystyle A} con n righe è diagonalizzabile se e solo se valgono entrambi i fatti seguenti:

  • La somma delle molteplicità algebriche dei suoi autovalori è n {\displaystyle n} , ovvero il polinomio caratteristico può essere fattorizzato nel campo attraverso polinomi di primo grado.
  • Le molteplicità algebriche e geometriche di ogni autovalore sono coincidenti, ovvero la dimensione degli autospazi è pari alla molteplicità con la quale il relativo autovalore è radice del polinomio caratteristico. Poiché la molteplicità geometrica è sempre minore o uguale di quella algebrica, se l'applicazione ha n autovalori distinti nel campo allora è diagonalizzabile.

Invarianza per trasposizione

La matrice trasposta A t {\displaystyle A^{t}} ha lo stesso polinomio caratteristico di A {\displaystyle A} . Infatti

p A t ( x ) = det ( A t − x I ) = det ( A t − x I t ) = det ( ( A − x I ) t ) = det ( A − x I ) = p A ( x ) . {\displaystyle p_{A^{t}}(x)=\det(A^{t}-xI)=\det(A^{t}-xI^{t})=\det((A-xI)^{t})=\det(A-xI)=p_{A}(x).}

Qui si fa uso del fatto che il determinante è invariante per trasposizione.

Esempi

  • Data:
A = ( 1 3 0 4 ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&3\\0&4\end{pmatrix}}}
allora:
A − x I = ( 1 3 0 4 ) − x ( 1 0 0 1 ) = ( 1 − x 3 0 4 − x ) {\displaystyle A-xI={\begin{pmatrix}1&3\\0&4\end{pmatrix}}-x{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1-x&3\\0&4-x\end{pmatrix}}}
e quindi:
p A ( x ) = det ( A − x I ) = ( 1 − x ) ( 4 − x ) {\displaystyle p_{A}(x)=\det(A-xI)=(1-x)(4-x)}
Gli autovalori di A {\displaystyle A} sono le radici del polinomio: 4 e 1.
  • Data:
B = ( 2 π 0 − 1 − 3 5 0 4 3 ) {\displaystyle B={\begin{pmatrix}2&\pi &0\\-1&-3&5\\0&4&3\end{pmatrix}}}
in modo analogo si trova:
p B ( x ) = − x 3 + 2 x 2 + ( 29 − π ) x − ( 58 − 3 π ) {\displaystyle p_{B}(x)=-x^{3}+2x^{2}+(29-\pi )x-(58-3\pi )}

Note

  1. ^ S. Lang, Pag. 227.
  2. ^ a b S. Lang, Pag. 228.
  3. ^ S. Lang, Pag. 229.
  4. ^ S. Lang, Pag. 114.

Bibliografia

  • (EN) Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
  • (EN) T. S. Blyth e E. F. Robertson, Basic Linear Algebra, Springer, 1998, ISBN 3-540-76122-5. p.149
  • (EN) John B. Fraleigh e Raymond A. Beauregard, Linear Algebra, 2nd edition, Addison-Wesley, 1990, ISBN 0-201-11949-8. p.246
  • (EN) Werner Greub, Linear Algebra, 4th edition, Springer, 1974, ISBN 0-387-90110-8. pp.120-5
  • (EN) Paul C. Shields, Elementary Linear Algebra, 3rd edition, Worth Publishers, 1980, ISBN 0-87901-121-1. p.274
  • (EN) Gilbert Strang, Linear Algebra and Its Applications, 3rd edition, Brooks/Cole, 1988, ISBN 0-15-551005-3. p.246

Voci correlate

Collegamenti esterni

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