Endomorfismo

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In matematica, un endomorfismo di una struttura algebrica è una funzione dall'insieme sostegno della struttura in sé, che preservi le operazioni. In altre parole, è un morfismo della struttura algebrica in sé stessa.

Sia ${\displaystyle X}$ un insieme o una struttura. Si definisce endomorfismo una funzione ${\displaystyle T}$ tale che:

${\displaystyle T\colon X\to X.}$

L'endomorfismo si può quindi attuare su un insieme generico; in varie applicazioni risulta importante considerare gli endomorfismi basati su spazi vettoriali.

Si indica invece con ${\displaystyle \mathrm {End} (X)}$ l'insieme degli endomorfismi di ${\displaystyle X.}$

Se un insieme ${\displaystyle X}$ è dotato di un'operazione binaria ${\displaystyle *}$, che associa a due elementi ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ un altro elemento ${\displaystyle x*y}$ di ${\displaystyle X,}$ un endomorfismo di ${\displaystyle X}$ è una funzione ${\displaystyle f\colon X\to X}$ tale che

${\displaystyle f(x*y)=f(x)*f(y),}$

per ogni ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ in ${\displaystyle X.}$ L'esempio più importante di insieme dotato di operazione binaria è il gruppo.

Ad esempio, la funzione ${\displaystyle f(x)=2x}$ dal gruppo dei numeri interi in sé è un endomorfismo rispetto all'operazione di somma. La funzione ${\displaystyle f(x)=x+1}$ invece no.

Se ${\displaystyle V}$ è uno spazio vettoriale, un endomorfismo di ${\displaystyle V}$ è un'applicazione lineare ${\displaystyle T}$ da ${\displaystyle V}$ in sé stesso ${\displaystyle T\colon V\to V.}$

Data la precedente definizione relativa agli spazi vettoriali, è interessante chiedersi, essendo l'immagine dell'endomorfismo un sottoinsieme di ${\displaystyle V,}$ se esistono in ${\displaystyle X}$ dei sottospazi ${\displaystyle U}$ di dimensione 1 che sono lasciati invariati per l'azione dell'endomorfismo. Ci si chiede cioè se esistono degli insiemi ${\displaystyle U}$ tali che ${\displaystyle T(U)\subseteq U}$. La ricerca di questi sottospazi è riconducibile alla ricerca di particolari vettori, detti autovettori di ${\displaystyle T}$^[1].

• Un endomorfismo che è anche biiettivo è un automorfismo.
• La funzione identità normalmente è un endomorfismo.
• La composizione di due endomorfismi è un endomorfismo, e quindi la composizione definisce un'operazione binaria su ${\displaystyle \mathrm {End} (X).}$
• Definiamo determinante di un endomorfismo ${\displaystyle f}$ su uno spazio vettoriale di dimensione finita: ${\displaystyle \det[f]_{B}^{B}}$, ossia il determinante della matrice associata. Esso non dipende dalla base ${\displaystyle B.}$
• Definiamo traccia di un endomorfismo ${\displaystyle f}$ su uno spazio vettoriale di dimensione finita: ${\displaystyle \mathrm {tr} [f]_{B}^{B}}$, ossia la traccia della matrice associata. Essa non dipende dalla base ${\displaystyle B.}$

• Morfismo
• Isomorfismo
• Automorfismo
• Endofunzione
• Operatore (matematica)

• Wikizionario contiene il lemma di dizionario «endomorfismo»

• Endomorfismo, su Treccani.it – Enciclopedie on line, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
• Endomorfismo, in Dizionario delle scienze fisiche, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 1996.
• endomorfismo, su sapere.it, De Agostini.
• Endomorfismo, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Eric W. Weisstein, Endomorphism, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Endomorphism, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
• Endomorfismo, in Grande Dizionario di Italiano, Garzanti Linguistica.

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