Matrice normale

In matematica, in particolare in algebra lineare, una matrice quadrata a valori complessi ${\displaystyle A}$ è una matrice normale se:

${\displaystyle A^{\dagger }A=AA^{\dagger }}$

dove ${\displaystyle A^{\dagger }}$ è la matrice trasposta coniugata di ${\displaystyle A}$. Ovvero, una matrice normale è una matrice che commuta con la sua trasposta coniugata. Se ${\displaystyle A}$ è una matrice reale, allora ${\displaystyle A^{\dagger }}$ è semplicemente uguale alla trasposta di ${\displaystyle A}$.

Le matrici normali sono unitariamente equivalenti alle matrici diagonali complesse.

Il concetto di matrice normale può essere generalizzato agli operatori normali sugli spazi di Hilbert e agli elementi normali nelle C*-algebre.

Proprietà

Le matrici normali sono le matrici a cui si applica il teorema spettrale: possono essere rappresentate da una matrice diagonale rispetto a una base ortonormale di ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ opportunamente scelta. In altri termini, una matrice è normale se e solo se i suoi autospazi generano ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ e sono ortogonali a due a due rispetto all'usuale prodotto scalare di ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$.

In generale, la somma o il prodotto di due matrici normali non è necessariamente normale. Tuttavia, se ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ sono normali con ${\displaystyle AB=BA}$, allora sia ${\displaystyle AB}$ che ${\displaystyle A+B}$ sono normali e inoltre è possibile diagonalizzare simultaneamente ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ nel seguente senso: esiste una matrice unitaria ${\displaystyle U}$ tale che ${\displaystyle UAU^{\dagger }}$ e ${\displaystyle UBU^{\dagger }}$ sono entrambe matrici diagonali. In questo caso, le colonne di ${\displaystyle U^{\dagger }}$ sono autovettori sia di ${\displaystyle A}$ che di ${\displaystyle B}$ e formano una base ortonormale di ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$.

Se ${\displaystyle A}$ è una matrice normale invertibile, allora esiste una matrice unitaria ${\displaystyle U}$ e una matrice definita positiva ${\displaystyle R}$ tale che ${\displaystyle A=RU=UR}$. Le matrici ${\displaystyle R}$ e ${\displaystyle U}$ sono unicamente determinate da ${\displaystyle A}$. Questa affermazione può essere vista come un analogo (e una generalizzazione) della rappresentazione polare dei numeri complessi non nulli.

Tutte le matrici unitarie, hermitiane, antihermitiane e definite positive sono normali. Se ${\displaystyle A}$ è unitaria ${\displaystyle A^{\dagger }A=AA^{\dagger }=I}$. Se ${\displaystyle A}$ è hermitiana, allora ${\displaystyle A^{\dagger }=A}$ e quindi ${\displaystyle A^{\dagger }A=AA=AA^{\dagger }}$. Tuttavia non tutte le matrici normali sono unitarie, hermitiane, o definite positive.

Relativamente allo spettro di ${\displaystyle A}$, si ha che una matrice è normale se e solo se:

${\displaystyle \sigma _{i}(A)=|\lambda _{i}(A)|\qquad \forall i=1\dots n}$

dove ${\displaystyle \sigma _{1}(A)\geq \dots \geq \sigma _{n}(A)}$ sono i valori singolari di ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle |\lambda _{1}(A)|\geq \dots \geq |\lambda _{n}(A)|}$ gli autovalori di ${\displaystyle A}$.

Un'altra condizione necessaria e sufficiente è che la norma di Frobenius di ${\displaystyle A}$ può essere calcolata con i suoi autovalori:

${\displaystyle \operatorname {tr} (A^{*}A)=\sum _{j}^{n}|\lambda _{j}|^{2}}$

La norma operatoriale di una matrice normale ${\displaystyle N}$, inoltre, è pari al suo raggio spettrale:

${\displaystyle \sup _{\|x\|=1}\|Nx\|=\sup _{\|x\|=1}|\langle Nx,x\rangle |=\max\{|\lambda |:\lambda \in \sigma (N)\}}$

dove ${\displaystyle \sigma (N)}$ è lo spettro di ${\displaystyle N}$.

Esempio

La matrice:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}-i&-i&0\\-i&i&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$

è normale poiché:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}-i&-i&0\\-i&i&0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-i&-i&0\\-i&i&0\\0&0&1\end{pmatrix}}^{\dagger }={\begin{pmatrix}-i&-i&0\\-i&i&0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}i&i&0\\i&-i&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle ={\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}i&i&0\\i&-i&0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-i&-i&0\\-i&i&0\\0&0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-i&-i&0\\-i&i&0\\0&0&1\end{pmatrix}}^{\dagger }{\begin{pmatrix}-i&-i&0\\-i&i&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$

ma non è unitaria, né hermitiana, né definita positiva.

Bibliografia

• (EN) Roger A. Horn e Charles R. Johnson, Topics in Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1991, p. 157, ISBN 978-0-521-30587-7.
• (EN) Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985), Matrix Analysis, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-38632-6.

Voci correlate

• Commutatore (matematica)
• Matrice trasposta
• Matrice trasposta coniugata
• Operatore aggiunto
• Operatore autoaggiunto
• Operatore normale
• Teorema spettrale
• Valore singolare

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Matrice normale, su MathWorld, Wolfram Research.

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