Rozkład Pareta

Wikipedia:Weryfikowalność
 Ten artykuł od 2009-11 wymaga zweryfikowania podanych informacji.
Należy podać wiarygodne źródła w formie przypisów bibliograficznych.
Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte.
Sprawdź w źródłach: Encyklopedia PWN • Google Books • Google Scholar • Federacja Bibliotek Cyfrowych • BazHum • BazTech • RCIN • Internet Archive (texts / inlibrary)
Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu.
Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.
Rozkład Pareta
Gęstość prawdopodobieństwa
Ilustracja
Gęstość prawdopodobieństwa rozkładu Pareta dla różnych k  oraz xm = 1. Oś odciętych odpowiada parametrowi x . {\displaystyle x.} Dla k {\displaystyle k} dążącego do nieskończoności rozkład zbiega do δ ( x − x m {\displaystyle \delta (x-x_{m}} gdzie δ {\displaystyle \delta } to delta Diraca.
Dystrybuanta
Ilustracja
Dystrybuanta rozkładu Pareta dla różnych k {\displaystyle k} oraz x m = 1. {\displaystyle x_{m}=1.} Oś odciętych odpowiada parametrowi x . {\displaystyle x.}
Parametry

x m > 0 {\displaystyle x_{\mathrm {m} }>0} parametr skali (liczba rzeczywista)
k > 0 {\displaystyle k>0} parametr kształtu (liczba rzeczywista)

Nośnik

x ∈ [ x m ; + ∞ ) {\displaystyle x\in [x_{\mathrm {m} };+\infty )}

Gęstość prawdopodobieństwa

k x m k x k + 1 {\displaystyle {\frac {k\,x_{\mathrm {m} }^{k}}{x^{k+1}}}}

Dystrybuanta

1 − ( x m x ) k {\displaystyle 1-\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{x}}\right)^{k}}

Wartość oczekiwana (średnia)

k x m k − 1 {\displaystyle {\frac {k\,x_{\mathrm {m} }}{k-1}}} dla k > 1 {\displaystyle k>1}

Mediana

x m 2 k {\displaystyle x_{\mathrm {m} }{\sqrt[{k}]{2}}}

Moda

x m {\displaystyle x_{\mathrm {m} }}

Wariancja

x m 2 k ( k − 1 ) 2 ( k − 2 ) {\displaystyle {\frac {x_{\mathrm {m} }^{2}k}{(k-1)^{2}(k-2)}}} dla k > 2 {\displaystyle k>2}

Współczynnik skośności

2 ( 1 + k ) k − 3 k − 2 k {\displaystyle {\frac {2(1+k)}{k-3}}\,{\sqrt {\frac {k-2}{k}}}} dla k > 3 {\displaystyle k>3}

Kurtoza

6 ( k 3 + k 2 − 6 k − 2 ) k ( k − 3 ) ( k − 4 ) {\displaystyle {\frac {6(k^{3}+k^{2}-6k-2)}{k(k-3)(k-4)}}}
dla k > 4 {\displaystyle k>4}

Entropia

ln ⁡ ( k x m ) − 1 k − 1 {\displaystyle \ln \left({\frac {k}{x_{\mathrm {m} }}}\right)-{\frac {1}{k}}-1}

Funkcja tworząca momenty

nieokreślona

Funkcja charakterystyczna

k ( − i x m t ) k Γ ( − k , − i x m t ) {\displaystyle k(-ix_{\mathrm {m} }t)^{k}\Gamma (-k,-ix_{\mathrm {m} }t)}

Odkrywca

Vilfredo Pareto

Rozkład Pareta[a] (od nazwiska Vilfreda Pareta) – ciągły rozkład prawdopodobieństwa, spełniający potęgowe prawo skalowania[1], występujący m.in. w naukach społecznych, geofizyce i aktuariacie. Poza ekonomią jest czasem nazywany rozkładem Bradforda.

Pareto oryginalnie używał tego rozkładu do opisu alokacji dóbr w społeczeństwie, gdyż jak zauważył większa część bogactwa dowolnego społeczeństwa jest w posiadaniu niewielkiego procenta jego członków.

Idea ta jest czasem wyrażana jako tzw. zasada Pareta, mówiąca, że 20% populacji posiada 80% bogactwa. Konkretne wartości mogą być jednak inne w zależności od parametrów rozkładu.

Rozkład Pareta występuje też w wielu innych sytuacjach, w szczególności:

  • częstości występowania słów w długich tekstach (kilka słów jest używanych często, wiele słów rzadko),
  • rozmiary osiedli ludzkich (mało dużych miast, dużo małych wsi),
  • wielkości plików przesyłanych protokołem TCP w internecie (dużo małych plików, mało dużych plików),
  • klastry kondensatu Bosego-Einsteina w okolicach zera Kelwina,
  • pojemność złóż ropy naftowej (mało dużych pól naftowych, dużo małych pól),
  • czas wykonywania procesu obliczeniowego przez superkomputer (niewiele długich procesów, dużo krótkich),
  • rozmiar ziarenek piasku,
  • rozmiar meteorytów,
  • liczba gatunków w rodzaju (intuicyjnie: im większy rodzaj, tym większa skłonność badaczy do podzielenia go na dwa mniejsze dla lepszego oddania indywidualnych cech zawierających się w nim gatunków),
  • powierzchnia spalona podczas pożaru lasu,
  • rozmiar finansowej odpowiedzialności ubezpieczyciela w związku z wypadkami losowymi jego klientów przy ubezpieczeniu OC, AC oraz od wypadków przy pracy.

Zobacz też

Uwagi

  1. ↑ W literaturze przedmiotu można spotkać dopełniacz nazwiska w postaci nieodmienionej, czyli „rozkład Pareto”, co jest jednak niezgodne z polskimi zasadami deklinacji.

Przypisy

  1. ↑ Rozkłady potęgowe i diagram Pareta na dyrekcja.pl.