Rozkład Erlanga

Rozkład Erlanga
Gęstość prawdopodobieństwa
Ilustracja
Dystrybuanta
Ilustracja
Parametry

k > 0 {\displaystyle k>0} parametr kształtu (liczba całkowita)
λ > 0 {\displaystyle \lambda >0} częstość (liczba rzeczywista)
alt.: θ = 1 / λ > 0 {\displaystyle \theta =1/\lambda >0} parametr skali (liczba rzeczywista)

Nośnik

x ∈ [ 0 ; ∞ ) {\displaystyle x\in [0;\infty )}

Gęstość prawdopodobieństwa

λ k x k − 1 e − λ x ( k − 1 ) ! {\displaystyle {\frac {\lambda ^{k}x^{k-1}e^{-\lambda x}}{(k-1)!\,}}}

Dystrybuanta

γ ( k , λ x ) ( k − 1 ) ! = 1 − ∑ n = 0 k − 1 e − λ x ( λ x ) n / n ! {\displaystyle {\frac {\gamma (k,\lambda x)}{(k-1)!}}=1-\sum _{n=0}^{k-1}e^{-\lambda x}(\lambda x)^{n}/n!}

Wartość oczekiwana (średnia)

k / λ {\displaystyle k/\lambda }

Mediana

Nie da się zapisać w prostej postaci

Moda

( k − 1 ) / λ {\displaystyle (k-1)/\lambda } dla k ⩾ 1 {\displaystyle k\geqslant 1}

Wariancja

k / λ 2 {\displaystyle k/\lambda ^{2}}

Współczynnik skośności

2 k {\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {k}}}}

Kurtoza

6 k {\displaystyle {\frac {6}{k}}}

Entropia

k / λ + ( k − 1 ) ln ⁡ ( λ ) + ln ⁡ ( ( k − 1 ) ! ) {\displaystyle k/\lambda +(k-1)\ln(\lambda )+\ln((k-1)!)}
+ ( 1 − k ) ψ ( k ) {\displaystyle +(1-k)\psi (k)}

Funkcja tworząca momenty

( 1 − t / λ ) − k {\displaystyle (1-t/\lambda )^{-k}} dla t < λ {\displaystyle t<\lambda }

Funkcja charakterystyczna

( 1 − i t / λ ) − k {\displaystyle (1-it/\lambda )^{-k}}

Odkrywca

Agner Krarup Erlang

Rozkład Erlanga – ciągły rozkład prawdopodobieństwa, związany z rozkładem wykładniczym i rozkładem gamma. Rozkład Erlanga został opracowany przez A.K. Erlanga do szacowania liczby rozmów telefonicznych, łączonych jednocześnie przez operatora w ręcznej centrali telefonicznej. Później uwzględniono również czas oczekiwania w kolejce. Obecnie rozkład ten znalazł też zastosowanie w teorii procesów stochastycznych.

Związek z rozkładem wykładniczym jest następujący. Dla ciągu niezależnych zmiennych losowych ( X i ) i ⩽ n , {\displaystyle (X_{i})_{i\leqslant n},} z których każda ma rozkład wykładniczy z jednakowym parametrem λ , {\displaystyle \lambda ,} zmienna losowa ∑ i = 1 n X i {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}X_{i}} ma rozkład Erlanga z parametrami k = n ,   θ = 1 / λ . {\displaystyle k=n,\ \theta =1/{\lambda }.} Wynika to bezpośrednio z postaci funkcji charakterystycznej rozkładu wykładniczego.