Serie di funzioni

In analisi matematica, una serie di funzioni è uno strumento usato per generalizzare lo studio della somma di un numero finito di funzioni e giungere ad alcuni importanti risultati di convergenza, per poter esprimere una funzione qualsiasi come una somma (infinita) di altre funzioni, magari più semplici da trattare.

Una serie di funzioni, analogamente alle serie numeriche, è definita come una particolare successione associata ad un'altra successione.

Tale successione è una successione di funzioni ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$, cioè ogni elemento della successione è una funzione ${\displaystyle f_{n}(x):D\longrightarrow \mathbb {R} }$, e la serie associata è definita dalla legge ${\displaystyle \{s_{n}(x)=f_{0}+\cdots +f_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ e si indica anche con:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }f_{n}(x)}$

Nel definire le serie di funzioni, e nell'enunciarne molti teoremi e proprietà, non è affatto necessario presupporre su D alcuna struttura. Dove sia richiesto, l'insieme D potrà essere uno spazio topologico, metrico, etc. o un certo sottoinsieme di ${\displaystyle \mathbb {R} }$, ${\displaystyle \mathbb {C} }$, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ o ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$.

In analogia con le serie numeriche, i termini ${\displaystyle f_{n}}$ e ${\displaystyle s_{n}}$ vengono detti rispettivamente termine generale e somma parziale della serie.

Sia data la seguente serie di funzioni

${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }f_{n}(x)}$

La serie converge puntualmente ad una funzione ${\displaystyle f}$ in ${\displaystyle A}$ se la serie numerica:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }f_{n}(x_{0})}$

converge a ${\displaystyle f(x_{0})}$ per ogni ${\displaystyle x_{0}}$ in ${\displaystyle A}$. L'insieme ${\displaystyle A}$ viene detto dominio di convergenza puntuale della serie.

La serie converge assolutamente se la serie di termine generale ${\displaystyle |f_{n}|}$ converge puntualmente.

La serie converge uniformemente ad una funzione ${\displaystyle f}$ in ${\displaystyle A}$ se converge uniformemente la successione delle somme parziali ${\displaystyle \{s_{n}(x)\}_{n\in \mathbb {N} }}$.

La serie converge totalmente ad una funzione ${\displaystyle f}$ in ${\displaystyle A}$ se e solo se passa il criterio di Weierstrass, ovvero se valgono le seguenti condizioni equivalenti:

• Esiste ${\displaystyle \{M_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subseteq \mathbb {R} _{+}}$ tale che:

${\displaystyle \sum M_{n}<\infty \qquad |f_{n}(x)|\leq M_{n}\qquad \forall x\in A\quad n\in \mathbb {N} }$

• Si verifica:

${\displaystyle \sum \sup _{x\in A}|f_{n}(x)|<\infty }$

Queste condizioni esprimono, in sostanza, l'esistenza di una serie a termini positivi convergente che "domini" la serie in questione, analogamente con il teorema della convergenza dominata di Lebesgue.

Se una serie converge totalmente, allora converge anche uniformemente e assolutamente. Non è vero il viceversa.

Se una serie converge uniformemente in ${\displaystyle A}$, allora ${\displaystyle f_{n}}$ converge uniformemente a ${\displaystyle 0}$ in ${\displaystyle A}$, ovvero:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\sup _{x\in A}|f_{n}(x)|=0}}$

Sia una serie di funzioni continue che converge uniformemente alla funzione somma ${\displaystyle f}$. Allora anche la funzione somma è continua.

${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f_{n}(x)=f_{n}(x_{0}),f_{n}(x)\to f{\text{ uniformemente}}\implies \lim _{x\to x_{0}}f(x)=\lim _{x\to x_{0}}\sum _{n}^{\infty }f_{n}(x)=\sum _{n}^{\infty }\lim _{x\to x_{0}}f_{n}(x)}$

Sia una serie di funzioni derivabili in ${\displaystyle [a,b]}$. Se la serie delle derivate è uniformemente convergente, allora la derivata della funzione somma può essere scritta come la serie delle derivate.

${\displaystyle f(x)=\sum _{n}f_{n}(x),\sum _{n}f'_{n}(x){\text{ unif. conv. }}\implies f'(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\sum _{n}f_{n}(x)=\sum _{n}f'_{n}(x)}$

Sia una serie di funzioni che converge uniformemente in ${\displaystyle [a,b]}$. Allora la serie dell'integrale è pari all'integrale della serie, cioè l'integrale della funzione somma.

${\displaystyle \sum _{n}\int _{a}^{b}f_{n}(x)\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}\sum _{n}{f_{n}(x)}\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x}$

• Se è ${\displaystyle f_{n}\geq 0}$, ${\displaystyle f_{n}}$ continua per ogni ${\displaystyle n}$ e la serie converge in ${\displaystyle [a,b]}$ a una funzione continua, allora la convergenza è uniforme.

Gli esempi di serie di funzioni sono molteplici nell'analisi. Si segnalano in particolare:

• Serie di potenze - serie in cui il termine generale è del tipo ${\displaystyle a_{n}\,(x-c)^{n}}$, dove ${\displaystyle a_{n}}$ è un coefficiente variabile. Ha applicazioni anche nella combinatoria e nell'ingegneria elettrica.
• Serie di Taylor - caso particolare di una serie di potenze, in cui i coefficienti ${\displaystyle a_{n}}$ sono rappresentati dalle derivate successive della funzione nel punto ${\displaystyle c}$, a meno di un termine fattoriale al denominatore. Sono usatissime, specie in una forma "troncata" all'${\displaystyle n}$-esimo termine, per approssimare la funzione in esame nel punto ${\displaystyle c}$. Una funzione sviluppabile in serie di Taylor in ogni suo punto è detta analitica. Sono dette anche serie di Taylor-MacLaurin se il punto iniziale è lo zero.
• Serie di Fourier - serie che approssimano il comportamento di funzioni periodiche mediante somme infinite di seni e coseni. Si applicano per esempio nell'acustica, nell'ottica e nella risoluzione di particolari equazioni differenziali alle derivate parziali.

• Nicola Fusco, Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, Elementi di Analisi Matematica Due. Versione semplificata per i nuovi corsi di laurea, Liguori Editore, Napoli, 2001 ISBN 88-207-3137-1

• Serie (matematica)
• Successione di funzioni

V · D · M Analisi matematica
Calcolo infinitesimale	Numero reale · Infinitesimo · O-grande · Successione (di funzioni) · Successione di Cauchy · Teorema di Bolzano-Weierstrass · Stima asintotica · Limite (di una funzione · di una successione · Forma indeterminata) · Teorema dei due carabinieri · Limite notevole · Punto di accumulazione · Punto isolato · Intorno · Serie (di funzioni) · Criteri di convergenza · Limite di funzioni a più variabili
Studio della continuità	Funzione continua · Punto di discontinuità · Continuità uniforme · Funzione lipschitziana · Teorema di Bolzano · Teorema di Weierstrass · Teorema dei valori intermedi · Teorema di Heine-Cantor · Modulo di continuità · Funzione semicontinua · Continuità separata · Teorema di approssimazione di Weierstrass
Calcolo differenziale	Derivata · Differenziale · Regole di derivazione · Teorema di Fermat · Teorema di Rolle · Teorema di Lagrange · Teorema di Cauchy · Teorema di Darboux · Teorema di Taylor · Serie di Taylor · Funzione differenziabile · Gradiente · Jacobiana · Hessiana · Forma differenziale · Generalizzazioni della derivata · Derivata parziale · Derivata mista
Integrale	Primitiva · Integrale di Riemann · Integrale improprio · Integrale di Lebesgue · Teorema fondamentale · Metodi di integrazione · Tavole · Integrale multiplo, di linea (1ª specie · 2ª specie) e di superficie (di volume)
Studio di funzione	Funzione · Variabile · Dominio e codominio · Funzioni pari e dispari · Funzione periodica · Funzione monotona · Funzione convessa · Massimo e minimo di una funzione · Punto angoloso · Cuspide · Punto di flesso · Asintoto · Grafico di una funzione · Funzione iniettiva
Disuguaglianze	Disuguaglianza triangolare · Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Altro	Approssimazione di Stirling · Prodotto di Wallis · Funzione Gamma · Teorema delle funzioni implicite · Teorema della funzione inversa · Funzione hölderiana · Spazio metrico · Spazio normato · Intervallo · Insieme trascurabile · Insieme chiuso · Insieme aperto · Palla · Omeomorfismo · Omeomorfismo locale · Diffeomorfismo · Diffeomorfismo locale · Classe C di una funzione · Equazione differenziale · Problema di Cauchy

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