Integrale di superficie

In matematica, un integrale di superficie è un integrale definito calcolato su una superficie, ad esempio un insieme di curve, che può essere pensato come un integrale doppio analogo ad un integrale di linea.

Definizione

Si definisce elemento di volume in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$ la k-forma:

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {V} _{k}=\mathrm {d} x_{1}\wedge \mathrm {d} x_{2}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x_{k}}$

Sia ${\displaystyle S}$ una k-superficie positivamente orientata in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$ e ${\displaystyle f}$ una funzione continua definita sull'immagine di ${\displaystyle S}$ e a valori in ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Allora:

${\displaystyle \int _{S}f(\mathbf {x} )\;\mathrm {d} x_{1}\wedge \mathrm {d} x_{2}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x_{k}=\int _{S}f\;\mathrm {d} \mathbf {V} _{k}}$

Sia ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{k}}$ il dominio di parametrizzazione di ${\displaystyle S}$ e ${\displaystyle S:D\to \mathbb {R} ^{k}}$ iniettiva e differenziabile con matrice jacobiana ${\displaystyle J_{S}}$ positiva. Allora:^[1]

${\displaystyle \int _{S(D)}f(\mathbf {x} )\;\mathrm {d} \mathbf {x} =\int _{D}f(S(\mathbf {u} ))\left|J_{S}(\mathbf {u} )\right|\;\mathrm {d} \mathbf {u} }$

Se ${\displaystyle f=1}$ l'integrale fornisce il volume della superficie.

Integrale di funzioni su 2-superfici in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Sia ${\displaystyle S}$ una 2-superficie in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ con dominio di parametrizzazione ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{2}}$. Un tale oggetto è analiticamente rappresentato da tre funzioni ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ e ${\displaystyle z}$ di due variabili indipendenti ${\displaystyle u}$ e ${\displaystyle v}$:

${\displaystyle S(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))}$

Sia:

${\displaystyle f:S(D)\to \mathbb {R} }$

una funzione definita su ${\displaystyle S}$.

Ad ogni punto ${\displaystyle (u,v)\in D}$ del dominio di parametrizzazione è possibile associare il vettore:^[2]

${\displaystyle \mathbf {N} (u,v)={\frac {\partial (y,z)}{\partial (u,v)}}\mathbf {e} _{1}+{\frac {\partial (z,x)}{\partial (u,v)}}\mathbf {e} _{2}+{\frac {\partial (x,y)}{\partial (u,v)}}\mathbf {e} _{3}}$

dove i vettori ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$ appartengono alla base canonica di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$.

Si definisce integrale di superficie di ${\displaystyle f}$ sulla superficie ${\displaystyle S(D)}$ la scrittura:^[3]

${\displaystyle \int _{S}f\;\mathrm {d} \mathbf {V} _{2}=\int _{D}f(S(u,v))|\mathbf {N} (u,v)|\;\mathrm {d} u\;\mathrm {d} v}$

In modo equivalente si scrive anche, notando che il prodotto interno è proprio il vettore normale:

${\displaystyle \int _{S}f\;\mathrm {d} S=\iint _{D}f(S(u,v))\left|{\partial S \over \partial u}\times {\partial S \over \partial v}\right|\;\mathrm {d} u\;\mathrm {d} v=\iint _{D}f(S(u,v))\left|\left({\frac {\partial (y,z)}{\partial (u,v)}},{\frac {\partial (z,x)}{\partial (u,v)}},{\frac {\partial (x,y)}{\partial (u,v)}}\right)\right|\,\;\mathrm {d} u\;\mathrm {d} v}$

dove:

${\displaystyle \mathbf {N} (u,v)={\partial S \over \partial u}\times {\partial S \over \partial v}=\left({\frac {\partial (y,z)}{\partial (u,v)}},{\frac {\partial (z,x)}{\partial (u,v)}},{\frac {\partial (x,y)}{\partial (u,v))}}\right)}$

è l'elemento di superficie normale a ${\displaystyle S}$.

E ${\displaystyle {\frac {\partial (x_{i},x_{j})}{\partial (u,v)}}={\frac {\partial S_{x_{i}}}{\partial u}}{\frac {\partial S_{x_{j}}}{\partial v}}-{\frac {\partial S_{x_{j}}}{\partial u}}{\frac {\partial S_{x_{i}}}{\partial v}}}$.

Se ${\displaystyle f=1}$ l'integrale fornisce l'area della superficie:

${\displaystyle A(S)=\int _{D}|\mathbf {N} (u,v)|\;\mathrm {d} u\;\mathrm {d} v}$

Integrale di 2-forme su 2-superfici in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Sia ${\displaystyle S}$ una 2-superficie in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ con dominio di parametrizzazione ${\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} ^{2}}$. Un tale oggetto è analiticamente rappresentato da tre funzioni ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ e ${\displaystyle z}$ di due variabili indipendenti ${\displaystyle u}$ e ${\displaystyle v}$:

${\displaystyle S(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))}$

Sia:

${\displaystyle \omega =\omega _{x}(x,y,z)\;\mathrm {d} y\wedge \;\mathrm {d} z+\omega _{y}(x,y,z)\;\mathrm {d} z\wedge \;\mathrm {d} x+\omega _{z}(x,y,z)\;\mathrm {d} x\wedge \;\mathrm {d} y}$

una 2-forma definita su ${\displaystyle S}$.

Si definisce integrale di ${\displaystyle \omega }$ su ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \int _{S}\omega =\int _{D}\omega (S(u,v))[J_{S}(u,v)]\;\mathrm {d} u\;\mathrm {d} v=\int _{D}\left[\omega _{x}(S(u,v)){\frac {\partial (y,z)}{\partial (u,v)}}+\omega _{y}(S(u,v)){\frac {\partial (z,x)}{\partial (u,v)}}+\omega _{z}(S(u,v)){\frac {\partial (x,y)}{\partial (u,v)}}\right]\;\mathrm {d} u\;\mathrm {d} v}$

Interpretando la 2-forma ${\displaystyle \omega }$ come un campo vettoriale ${\displaystyle \mathbf {F} =(\omega _{x},\omega _{y},\omega _{z})}$ definito su ${\displaystyle S}$ si ha:

${\displaystyle \int _{S}{\mathbf {F} }\cdot \;\mathrm {d} {\mathbf {S} }=\int _{S}({\mathbf {F} }\cdot {\mathbf {n} })\;\mathrm {d} S=\iint _{D}{\mathbf {F} }(S(u,v))\cdot \mathbf {n} \,\,|\mathbf {N} (u,v)|\;\mathrm {d} u\;\mathrm {d} v=\iint _{D}{\mathbf {F} }(S(u,v))\cdot \mathbf {N} (u,v)\;\mathrm {d} u\;\mathrm {d} v}$

dove ${\displaystyle \mathbf {n} }$ è il versore normale alla superficie ${\displaystyle \left(\mathbf {n} ={\frac {\mathbf {N} (u,v)}{|\mathbf {N} (u,v)|}}\right)}$ .

Esempio

Sia ${\displaystyle S}$ una superficie (chiusa o aperta) analiticamente rappresentata da tre funzioni ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ e ${\displaystyle z}$ di due variabili indipendenti ${\displaystyle \xi }$ e ${\displaystyle \eta }$:

${\displaystyle x=x(\xi \ ,\eta )\qquad y=y(\xi \ ,\eta )\qquad z=z(\xi \ ,\eta )}$

e sia ${\displaystyle f(P)}$ funzione continua dei punti ${\displaystyle P(\xi ,\eta )}$ di detta superficie. Decomposta ${\displaystyle S}$ in modo arbitrario in elementi ${\displaystyle \Delta s}$, si fissi su ciascuno di questi un punto ${\displaystyle P(\xi ,\eta )}$, e si formi il prodotto ${\displaystyle f(P)\Delta s}$ del valore di ${\displaystyle f(P)}$ per ogni ${\displaystyle \Delta s}$. La somma di tali prodotti è indicata con ${\displaystyle \sum _{\Delta s=1}^{n}f(P)\Delta s}$. Facendo aumentare indefinitamente il numero ${\displaystyle n}$ degli elementi della decomposizione e facendo diminuire ciascuna delle aree ${\displaystyle \Delta s}$, se esiste il limite di tale somma e se è finito allora esso è l'integrale di superficie della funzione ${\displaystyle f(P)}$ sulla superficie ${\displaystyle S}$. Viene indicato con ${\displaystyle \int _{S}f(P)\cdot \mathrm {d} s}$ oppure con ${\displaystyle \iint _{S}f(P)\cdot \mathrm {d} s}$.

La sua effettiva valutazione si ottiene mediante un integrale doppio esteso all'area piana ${\displaystyle C}$ proiezione della superficie ${\displaystyle S}$ sul piano x-y.

Con lo spianamento della superficie ${\displaystyle S}$ l'integrale in ${\displaystyle \mathrm {d} s}$ si trasforma nel seguente integrale doppio:

${\displaystyle \iint _{C}f(P)\cdot {\sqrt {1+p^{2}+q^{2}}}\cdot \mathrm {d} C}$

ove ${\displaystyle p=\mathrm {d} z/\mathrm {d} x}$ e ${\displaystyle q=\mathrm {d} z/\mathrm {d} y}$, che consente la valutazione dell'integrale di superficie.

Note

Bibliografia

• Walter Rudin, Principi di analisi matematica, Milano, McGraw-Hill, 1991, ISBN 88-386-0647-1.
• (EN) Leathem, J. G. Volume and Surface Integrals Used in Physics. Cambridge, England: University Press, 1905.

Voci correlate

• Flusso
• Integrale
• Integrale di linea
• Integrale di volume
• Integrale multiplo

Altri progetti

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su integrale di superficie

Collegamenti esterni

• (EN) surface integral, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Integrale di superficie, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) L.D. Kudryavtsev, Surface integral, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
• Surface Integral — from MathWorld
• (EN) Surface Integral — Theory and exercises (PDF), su math.gatech.edu.

V · D · M Analisi matematica
Calcolo infinitesimale	Numero reale · Infinitesimo · O-grande · Successione (di funzioni) · Successione di Cauchy · Teorema di Bolzano-Weierstrass · Stima asintotica · Limite (di una funzione · di una successione · Forma indeterminata) · Teorema dei due carabinieri · Limite notevole · Punto di accumulazione · Punto isolato · Intorno · Serie (di funzioni) · Criteri di convergenza · Limite di funzioni a più variabili
Studio della continuità	Funzione continua · Punto di discontinuità · Continuità uniforme · Funzione lipschitziana · Teorema di Bolzano · Teorema di Weierstrass · Teorema dei valori intermedi · Teorema di Heine-Cantor · Modulo di continuità · Funzione semicontinua · Continuità separata · Teorema di approssimazione di Weierstrass
Calcolo differenziale	Derivata · Differenziale · Regole di derivazione · Teorema di Fermat · Teorema di Rolle · Teorema di Lagrange · Teorema di Cauchy · Teorema di Darboux · Teorema di Taylor · Serie di Taylor · Funzione differenziabile · Gradiente · Jacobiana · Hessiana · Forma differenziale · Generalizzazioni della derivata · Derivata parziale · Derivata mista
Integrale	Primitiva · Integrale di Riemann · Integrale improprio · Integrale di Lebesgue · Teorema fondamentale · Metodi di integrazione · Tavole · Integrale multiplo, di linea (1ª specie · 2ª specie) e di superficie (di volume)
Studio di funzione	Funzione · Variabile · Dominio e codominio · Funzioni pari e dispari · Funzione periodica · Funzione monotona · Funzione convessa · Massimo e minimo di una funzione · Punto angoloso · Cuspide · Punto di flesso · Asintoto · Grafico di una funzione · Funzione iniettiva
Disuguaglianze	Disuguaglianza triangolare · Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz · Bernoulli · Jensen · Hölder · Young · Minkowski
Altro	Approssimazione di Stirling · Prodotto di Wallis · Funzione Gamma · Teorema delle funzioni implicite · Teorema della funzione inversa · Funzione hölderiana · Spazio metrico · Spazio normato · Intervallo · Insieme trascurabile · Insieme chiuso · Insieme aperto · Palla · Omeomorfismo · Omeomorfismo locale · Diffeomorfismo · Diffeomorfismo locale · Classe C di una funzione · Equazione differenziale · Problema di Cauchy

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica