In matematica, in particolare in analisi matematica e geometria differenziale, una funzione differenziabile in un punto è una funzione che può essere approssimata a meno di un resto infinitesimo da una trasformazione lineare in un intorno abbastanza piccolo di quel punto.
Affinché ciò si verifichi è necessario (ma non sufficiente) che tutte le derivate parziali calcolate nel punto esistano, cioè se è differenziabile, allora è derivabile nel punto poiché esistono e sono finiti i limiti dei rapporti incrementali direzionali. Il concetto di differenziabilità permette di generalizzare il concetto di funzione derivabile a funzioni vettoriali di variabile vettoriale, e la differenziabilità di una funzione permette di individuare per ogni punto del suo grafico un iperpiano tangente.
Una funzione può essere differenziabile volte, e si parla in questo caso di funzione di classe. Una funzione differenziabile infinite volte è inoltre detta liscia. Nell'analisi funzionale le distinzioni fra le varie classi sono molto importanti, mentre in altri settori della matematica queste differenze sono meno tenute in considerazione, e spesso si usa impropriamente il termine "funzione differenziabile" per definire una funzione liscia.
Indice
1Definizione
2Matrice jacobiana
3Differenziabilità in analisi complessa
4Proprietà delle funzioni differenziabili
5Approssimazioni
6Note
7Bibliografia
8Voci correlate
9Altri progetti
10Collegamenti esterni
Definizione
Una funzione:
definita su un insieme aperto dello spazio euclideo è detta differenziabile in un punto del dominio se esiste una applicazione lineare:
dove si annulla, con ordine di infinitesimo maggiore di 1, all'annullarsi dell'incremento . Tale condizione si può scrivere in modo equivalente:
Se la funzione è differenziabile in , l'applicazione è rappresentata dalla matrice jacobiana .
Il vettore:
si chiama differenziale (esatto) di in ed viene detto derivata o anche derivata totale della funzione .
La funzione è infine differenziabile se lo è in ogni punto del dominio.[2] In particolare, il teorema del differenziale totale afferma che una funzione è differenziabile in un punto se tutte le derivate parziali esistono in un intorno del punto per ogni componente della funzione e se sono inoltre funzioni continue. Se inoltre l'applicazione che associa a è continua, la funzione si dice differenziabile con continuità.[3]
Nel caso di una funzione di una variabile definita su un intervallo aperto dell'asse reale, essa è detta differenziabile in se esiste un'applicazione lineare tale che:[4]
ed in tal caso si ha:
Matrice jacobiana
Lo stesso argomento in dettaglio: Matrice jacobiana.
Se una funzione è differenziabile in un punto allora tutte le derivate parziali calcolate nel punto esistono, ma non vale il viceversa. Tuttavia, se tutte le derivate parziali esistono e sono continue in un intorno del punto allora la funzione è differenziabile nel punto, ovvero è di classe.
Il limite va inteso in relazione alla topologia del piano. In altre parole, per ogni successione di numeri complessi che convergono a il rapporto incrementale deve tendere allo stesso numero, indicato con . Se è differenziabile in senso complesso in ogni punto di , essa è una funzione olomorfa su . Si dice inoltre che è olomorfa nel punto se è olomorfa in qualche intorno del punto, e che è olomorfa in un insieme non aperto se è olomorfa in un aperto contenente .
La relazione tra la differenziabilità di funzioni reali e funzioni complesse è data dal fatto che se una funzione complessa è olomorfa allora e possiedono derivata parziale prima rispetto a e e soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann:
In modo equivalente, la derivata di Wirtinger di rispetto al complesso coniugato di è nulla.
Proprietà delle funzioni differenziabili
Una funzione differenziabile in un punto è continua in . Infatti:
per la definizione data di funzione differenziabile e per la continuità delle funzioni lineari.
Se è una funzione differenziabile in , allora essa ammette tutte le derivate parziali in . Viceversa non è sempre vero che l'esistenza delle derivate parziali in un punto garantisca anche la differenziabilità nel punto. Ad esempio, la funzione reale di due variabili reali:
ammette derivate parziali ovunque, ma il fatto che in la funzione non sia continua impedisce la sua differenziabilità in . Tuttavia, se è di classe in un intorno di , cioè se esistono tutte le derivate parziali di e queste sono funzioni continue, allora è differenziabile in . Vale quindi, se è aperto, che implica la differenziabilità in che implica a sua volta che .
Da un punto di vista informale, una funzione differenziabile è una funzione tale da apparire sempre più simile ad una trasformazione affine quando viene vista ad ingrandimenti sempre maggiori. La trasformazione affine che approssima in un intorno di è la funzione:
Per verificarlo, si consideri un intorno di di raggio .
Se si effettua uno zoom sul grafico di in modo che l'intorno ci appaia di raggio , la distanza che si vede tra la funzione e la funzione affine che la approssima in corrispondenza del punto è uguale a:
dove la divisione per corrisponde al riscalamento dovuto allo "zoom" che si sta operando sull'intorno. Quindi la massima distanza che si vede nell'intorno riscalato è:
ora si può dimostrare che dalla definizione di differenziabilità di si deduce che:
il che significa che quello che si osserva ingrandendo progressivamente il grafico di e della sua approssimazione affine intorno a è che questi tendono a coincidere. Viceversa, la relazione implica direttamente la differenziabilità di .
Nicola Fusco, Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, Elementi di Analisi Matematica Due, Napoli, Liguori Editore, 2001, ISBN 9788820731373. (capitolo 2, paragrafo 13)
Nicola Fusco, Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, Lezioni di Analisi Matematica Due, Bologna, Zanichelli, 2020, ISBN 9788808520203. (capitolo 3, paragrafo 29)
Walter Rudin, Principi di analisi matematica, Milano, McGraw-Hill, 1991, ISBN 88-386-0647-1.