Liste de suites de nombres premiers

Certains nombres premiers peuvent appartenir à diverses catégories de nombres remarquables.

Autrement dit, des suites (finies ou infinies) de nombres premiers ayant des propriétés particulières communes peuvent être établies, au sein de l'ensemble infini des nombres premiers^[1].

Le présent article s'intéresse aux suites de nombres premiers appartenant à diverses catégories remarquables pour leur intérêt mathématique ou parfois ludique.

Il existe des formules qui donnent exclusivement des nombres premiers (nombres de Mills).

Nombre premier d'une classe de congruence

Nombre premier de Pythagore

Premier congru à 1 modulo 4.

Entier naturel premier de Gauss

Nombre premier qui, dans l'anneau des entiers de Gauss, est aussi un élément premier, c'est-à-dire qui est congru à 3 modulo 4.

Entier naturel premier d'Eisenstein

Nombre premier qui, dans l'anneau des entiers d'Eisenstein, est aussi un élément premier, c'est-à-dire qui est congru à –1 modulo 3.

Nombre premier lié aux puissances de 2

Nombre de Fermat premier

Premier de la forme ${\displaystyle F_{n}:=2^{2^{n}}+1}$, avec ${\displaystyle n}$ entier naturel. On n'en connait que cinq : ${\displaystyle F_{0},\cdots ,F_{4}}$.

Nombre de Mersenne premier

Premier de la forme ${\displaystyle M_{p}=2^{p}-1}$.

Voir aussi : Nombre double de Mersenne (seulement quatre premiers connus : M₃, M₇, M₃₁, M₁₂₇), et Nombre de Catalan-Mersenne (seulement cinq : 2, M₂, M₃, M₇, M₁₂₇).

Nombre premier de Pierpont

Premier de la forme ${\displaystyle 2^{u}3^{v}+1}$.

Nombre de Proth premier

Premier de la forme ${\displaystyle k2^{n}+1}$, avec ${\displaystyle 0<k<2^{n}}$.

Nombre de Thebit premier

Premier de la forme ${\displaystyle 3\!\!\times \!\!2^{n}-1}$.

Nombre premier de Wagstaff

Premier de la forme ${\displaystyle {\frac {2^{n}+1}{3}}}$.

Nombre premier de Wieferich

Premier p tel que p² divise 2^p–1 – 1 (d'après le petit théorème de Fermat, tout nombre premier p > 2 divise le nombre 2^p–1 – 1).

Les seuls nombres premiers de Wieferich connus sont 1 093 et 3 511. On ignore si l'ensemble des nombres premiers de Wieferich est fini ou infini.

Nombre de Woodall premier

Premier de la forme ${\displaystyle n2^{n}-1}$.

Nombre de Cullen premier

Premier de la forme ${\displaystyle n2^{n}+1}$.

Nombre premier extrait d'une suite récurrente linéaire

Nombre premier de Fibonacci

Nombre à la fois premier et de Fibonacci.

Nombre premier de Lucas

Nombre à la fois premier et de Lucas.

Nombre de Pell premier

Nombre à la fois premier et de Pell.

Nombre de Newman-Shanks-Williams premier

Nombre à la fois premier et de Newman-Shanks-Williams.

Nombre de Perrin premier

Nombre à la fois premier et de Perrin.

n-uplet de nombres premiers distants d'écarts constants

Couple

Les suites suivantes concernent les couples de deux nombres premiers (non nécessairement consécutifs) de la forme (p, p + k), où l'écart k est un entier strictement positif.

Écart impair

Pour chaque k impair, il existe au plus un couple (donc pas du tout ou pas vraiment de suite de couples) de nombres premiers distants d'écart k : le couple (2, 2 + k), si 2 + k est premier.

Écart pair

• (p, p + 2) : nombres premiers jumeaux.
• (p, p + 4) : nombres premiers cousins.
• (p, p + 6) : nombres premiers sexy.
• (p, p + 8) : suite A156320 de l'OEIS.
• (p, p + 10) : suite  A140445.
• (p, p + 12) : suite  A156323.
• (p, p + 14) : suite  A140446.
• (p, p + 18) : suite  A156328.
• (p, p + 22) : suite  A140447.

n-uplets suivants

• Triplet de nombres premiers de la forme (p, p + 2, p + 6) ou (p, p + 4, p + 6).
• Quadruplet de nombres premiers de la forme (p, p + 2, p + 6, p + 8).
• Quintuplet de nombres premiers de la forme (p, p + 2, p + 6, p + 8, p + 12) ou (p – 4, p, p + 2, p + 6, p + 8).
• Sextuplet de nombres premiers de la forme (p – 4, p, p + 2, p + 6, p + 8, p + 12).

Nombre combinatoire premier

Nombre de Bell premier

Premier égal au nombre de partitions d'un ensemble fini.

Nombre premier factoriel

Premier de la forme n! ± 1.

Nombre premier primoriel

Premier de la forme p_n# ± 1.

Nombre d'Euclide premier

Premier de la forme p_n# + 1.

Nombre de Motzkin premier

Premier égal au nombre de façons de tracer des cordes non sécantes entre n points d'un cercle.

Bon nombre premier

Premier ${\displaystyle p_{n}}$ tel que ${\displaystyle \forall i=1,\cdots ,n-1\quad p_{n}^{2}>p_{n-i}~p_{n+i}}$, où ${\displaystyle p_{k}}$ désigne le ${\displaystyle k}$-ième nombre premier.

Nombre presque carré premier

Eric Weisstein propose d'appeler « nombre presque carré » un nombre de la forme ${\displaystyle n^{2}-k}$ (où, implicitement, ${\displaystyle n}$ et ${\displaystyle k}$ sont des entiers relatifs non nuls), et donne des liens vers l'OEIS, pour ${\displaystyle k}$ compris entre –5 et 5, pour ces suites de nombres, et pour les sous-suites de ceux qui sont premiers^[2].

L'OEIS contient également des listes pour ${\displaystyle k}$ allant de –6 à –11 ( A056909,  A079138,  A138338,  A138353,  A138355 et  A138362), et de 6 à 8 ( A028880,  A028883 et  A028886).

Exemples :

• Le seul nombre premier de la forme ${\displaystyle n^{2}-1}$ est 3, et le seul nombre premier de la forme ${\displaystyle n^{2}-4}$ est 5. En effet, 1 et 4 sont des carrés parfaits ; on peut donc écrire ${\displaystyle n^{2}-k=n^{2}-b^{2}=(n-b)(n+b)}$. Ce produit est un nombre premier si et seulement si : ${\displaystyle n=b+1}$ et ${\displaystyle 2b+1}$ est premier.
• Pour ${\displaystyle \ell \geq 1}$, les nombres de Fermat ${\displaystyle 2^{2^{\ell }}+1}$, et même les nombres de Fermat généralisés ${\displaystyle a^{2^{\ell }}+1}$, sont de la forme ${\displaystyle n^{2}+1}$.
• Pour ${\displaystyle \ell \geq 0}$, les nombres de Carol ${\displaystyle (2^{\ell }-1)^{2}-2}$ et les nombres de Kynea ${\displaystyle (2^{\ell }+1)^{2}-2}$ sont de la forme ${\displaystyle n^{2}-2}$.

Nombre chanceux premier

Nombre premier de Chen

Premier p tel que p + 2 est premier ou semi-premier (c'est-à-dire le produit de deux nombres premiers).

En 1966, Jingrun Chen a démontré qu'il existe une infinité de tels nombres premiers.

Nombre premier cubain (ou cube)

Premier de la forme ${\displaystyle {\frac {x^{3}-y^{3}}{x-y}}}$ (le nom «cubain» vient des cubes)^[3], avec ${\displaystyle y}$ entier strictement positif et ${\displaystyle x}$ égal à ${\displaystyle y+1}$ ou à ${\displaystyle y+2}$.

Nombre premier équilibré

Nombre premier situé à égale distance des premiers précédent et suivant.

Nombre fortuné premier

Pour tout entier ${\displaystyle n\geq 1}$, le ${\displaystyle n}$-ième nombre fortuné (suite A005235 de l'OEIS) est l'entier ${\displaystyle m}$ défini par : ${\displaystyle p_{n}\#+m}$ est le plus petit nombre premier strictement supérieur au nombre d'Euclide ${\displaystyle p_{n}\#+1}$.

On conjecture que tout nombre fortuné est premier.

Nombre premier harmonique

Pour tout premier ${\displaystyle p>3,}$ le numérateur du ${\displaystyle n}$-ième nombre harmonique ${\displaystyle H_{n}}$ est divisible par ${\displaystyle p}$ au moins pour les trois valeurs ${\displaystyle \ n=p-1,~~n=p^{2}-p,~~n=p^{2}-1.~}$ Le nombre premier ${\displaystyle p}$ est dit harmonique si ces trois valeurs sont les seules.

Les nombres premiers harmoniques sont 5, 13, 17, 23, 41, 67, etc. (suite A092101 de l'OEIS). On conjecture qu'il en existe une infinité^[4],[5].

Nombre premier de Higgs

Premier ${\displaystyle p}$ pour lequel ${\displaystyle p-1}$ divise le carré du produit de tous les nombres premiers de Higgs inférieurs.

Nombre premier long

Premier ${\displaystyle p}$ tel que dans une base donnée ${\displaystyle b}$ non divisible par ${\displaystyle p}$, l'entier ${\displaystyle {\frac {b^{p-1}-1}{p}}}$ soit cyclique.

Nombre de Markov premier

Premier ${\displaystyle p}$ pour lequel il existe des entiers ${\displaystyle x}$ et ${\displaystyle y}$ tels que ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+p^{2}=3xyp}$.

Nombre premier de Pillai

Premier ${\displaystyle p}$ pour lequel il existe un entier ${\displaystyle n}$ tel que ${\displaystyle p}$ divise ${\displaystyle n!+1}$ et ${\displaystyle n}$ ne divise pas ${\displaystyle p-1}$.

Nombre premier de Ramanujan

Le n-ième nombre premier de Ramanujan est le plus petit entier à partir duquel la fonction « nombre de nombres premiers entre ${\displaystyle {\frac {x}{2}}}$ et ${\displaystyle x}$ » est minorée par ${\displaystyle n}$. ^[pas clair]

Nombre premier régulier

Nombre premier ${\displaystyle p>2}$ ne divisant pas le nombre de classes du corps cyclotomique ℚ(ζ_p). Les nombres premiers impairs non réguliers sont dits irréguliers.

Nombre premier de Sophie Germain

Premier ${\displaystyle p}$ tel que ${\displaystyle 2p+1}$ soit aussi premier, ce dernier étant alors appelé un nombre premier sûr.

Nombre premier de Stern

Premier qui n'est pas de la forme ${\displaystyle p+2b^{2}}$ avec ${\displaystyle p}$ premier et ${\displaystyle b}$ entier non nul. Les huit connus (2, 3, 17, 137, 227, 977, 1187, 1493) sont peut-être les seuls.

Nombre premier supersingulier

Premier correspondant à une courbe elliptique ayant des propriétés exceptionnelles.

Il en existe exactement quinze : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59 et 71.

Nombre premier sûr

Premier ${\displaystyle p}$ tel que ${\displaystyle {\frac {p-1}{2}}}$ soit aussi premier, ce dernier étant alors appelé un nombre premier de Sophie Germain.

Nombre premier unique

Premier ${\displaystyle p}$ pour lequel la période du développement décimal de ${\displaystyle {\frac {1}{p}}}$ est unique (aucun autre premier ne donne la même).

Nombre premier de Wall-Sun-Sun

Premier p dont le carré divise F(p – (p/5)). On ignore s'il en existe.

Paire de Wieferich

Une paire de nombres premiers ${\displaystyle \ q<p~}$ est dite de Wieferich si ${\displaystyle \ q^{p-1}}$ ≡ ${\displaystyle 1~~(\!\!\!\!\!\!\mod p^{2}),~}$ et doublement de Wieferich si de plus ${\displaystyle \ p^{q-1}}$ ≡ ${\displaystyle 1~~(\!\!\!\!\!\!\mod q^{2}).}$

Nombre premier de Wilson

Premier p tel que p² divise (p – 1)! + 1.

On conjecture qu'il existe une infinité de nombres premiers de Wilson, mais on n'en connaît que trois : 5, 13 et 563 (suite A007540 de l'OEIS).

Nombre premier de Wolstenholme

Premier p pour lequel le coefficient binomial ${\displaystyle {2p-1 \choose p-1}}$ est congru à 1 mod p⁴.

On conjecture qu'il existe une infinité de nombres premiers de Wolstenholme, mais on n'en connaît que deux : 16 843 et 2 124 679.

Nombre premier extrait d'une constante

Nombre premier de Mills

Partie entière de ${\displaystyle \theta ^{3^{n}}}$ pour un entier n > 0, où θ est la constante de Mills (le plus petit réel pour lequel tous ces entiers sont premiers).

Nombre premier issu de la partie entière de puissances d'une constante

Premier égal à la partie entière, par défaut ou par excès, d'une puissance entière d'une constante égale à e^[6], π^[7], ou φ^[8].

Nombre premier issu de troncature de constante

Premier dont les ${\displaystyle n}$ chiffres sont les ${\displaystyle n}$ premiers chiffres, en base dix, d'une constante mathématique (virgule éventuelle non prise en compte)^[9].

Exemples :

Constante	Symboles usuels	Valeur approchée par défaut à 10–9 près (suite OEIS des chiffres de l'approximation)	Nombre n de chiffres de p (suite OEIS de ces nombres)	Nombres premiers p obtenus (suite OEIS de ces nombres premiers)
Constante d'Apéry	ζ(3)	1,202 056 903 ( A002117)	10, 55, … ( A119334)	1 202 056 903, … ( A119333)
Constante de Catalan	K ou β(2)	0,915 965 594 ( A006752)	52, … ( A118328)	… ( A118329)
Constante de Copeland-Erdős		0,235 711 131 ( A33308)	1, 2, 4, 11, … ( A227530)	2, 23, 2 357, … (les nombres de Smarandache-Wellin premiers forment une sous-suite)
Constante de Néper	e	2,718 281 828 ( A001113)	1, 3, 7, 85, … ( A064118)	2, 271, 2 718 281, … ( A007512)[6]
Constante d'Euler-Mascheroni	γ	0,577 215 664 ( A001620)	1, 3, 40, … ( A065815)	5, 577, … (suite non disponible)
Constante de Glaisher-Kinkelin	A	1,282 427 129 ( A074962)	7, 10, 18, … ( A118420)	1 282 427, 1 282 427 129, … ( A118419)
Constante de Golomb-Dickman	λ, μ	0,624 329 988 ( A084945)	6, 27, … ( A174974)	624 329, … ( A174975)
Nombre d'or	φ	1,618 033 988 ( A001622)	7, 13, … ( A064119)	1 618 033, … ( A064117)[8]
Constante de Khinchin	K	2,685 452 001 ( A002210)	1, 407, … ( A118327)	2, … (suite non disponible)
Constante pi	π	3,141 592 653 ( A000796)	1, 2, 6, 38, … ( A060421)	3, 31, 314 159, … ( A005042)[7]
Constante de Pythagore	√2	1,414 213 562 ( A002193)	55, … ( A115377)	… ( A115453)
Constante de Ramanujan-Soldner	μ	1,451 369 234 ( A070769)	4, 144, … ( A122422)	1 451, … ( A122421)
Constante de Théodorus	√3	1,732 050 807 ( A002194)	2, 3, 19, … ( A119344)	17, 173, … ( A119343)

Curiosités

Dans cette section, les nombres sont exprimés en base dix.

Nombre premier diédral

Premier qui le reste lorsqu'il est observé normalement ou tête en bas, en vue directe ou en réflexion dans un miroir, sur un afficheur 7 segments (le 1 est supposé être écrit à l'anglaise, comme une barre). Ce nom vient du fait que^{[réf. nécessaire]} le groupe de symétrie du rectangle est le groupe diédral D₄ (le groupe de Klein). Ces nombres forment la suite A134996 de l'OEIS : 2, 5, 11, 101, 181, etc. Leurs seuls chiffres possibles sont 0, 1, 2, 5, et 8.

Le nombre à 180 055 chiffres 10^{180 054} + 8R_{58 567}10^{60 744} + 1 (où R_n est un répunit) est de plus premier palindrome. Lors de sa découverte en 2009 (par Darren Bedwell), il était le plus grand nombre premier diédral connu.^{[réf. nécessaire]}

Nombre premier palindrome

Nombre à la fois premier et palindrome. Ces nombres forment la suite A002385 de l'OEIS : 2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151, 181, 191, etc.

Nombre tétradique premier

Un nombre est dit tétradique^[10] s'il reste inchangé lorsque ses chiffres sont mis tête en bas ou sont inversés par des symétries centrales, c'est-à-dire^[pas clair] si c'est un nombre palindrome n'utilisant que les chiffres 0, 1, et 8.

Ceux qui sont premiers forment la suite A068188 de l'OEIS (11, 101, 181, etc.), dont le plus grand connu, en 2010, était le nombre premier diédral de 180 055 chiffres mentionné ci-dessus.

Nombre premier permutable

Premier dont toute permutation des chiffres est première, comme 13 ou 113 ou comme le répunit premier 11 (en base dix).

Reimerp

Premier devenant un premier distinct lorsque ses chiffres sont inversés, comme 13 ou 107 (« reimerp » est le mot « premier » épelé à l'envers).

Nombre premier tronquable

Un nombre premier est dit :

• tronquable à droite s'il reste premier lorsque ses derniers chiffres sont successivement enlevés ;
• tronquable à gauche s'il ne contient pas le chiffre 0 et s'il reste premier lorsque ses premiers chiffres sont successivement enlevés.

Notes et références

Notes

Références

Voir aussi

Liens externes

• (en) www.utm.edu « Prime Pages » (listes de nombres premiers)
• (en) Eric W. Weisstein, « Prime Number Sequences », sur MathWorld

• Arithmétique et théorie des nombres