Quintuplet premier

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Un quintuplet premier est une suite de cinq nombres premiers consécutifs de la forme (p, p+2, p+6, p+8, p+12) ou (p, p+4, p+6, p+10, p+12). Toute suite de cinq nombres premiers consécutifs d'écarts entre eux minimaux est de l'une de ces deux formes, en dehors de (2,3,5,7,11) et (3,5,7,11,13).

Quintuplet de nombres premiers distants d'écarts minimaux constants

Un quintuplet premier contient toujours un quadruplet premier (p, p+2, p+6, p+8). Le cinquième terme est ajouté :

• soit à droite p + 12 (première forme),
• soit à gauche p – 4 (seconde forme).

Propriétés des quintuplets de nombres premiers distants d'écarts minimaux constants

Un quintuplet premier contient :

• deux paires de nombres premiers jumeaux proches : « (p, p + 2) » et « (p + 6, p + 8) », formant un quadruplet premier
• trois triplets premiers se chevauchant partiellement : « (p, p + 2, p + 6) », « (p + 2, p + 6, p + 8) », « (p + 6, p + 8, p + 12) » dans le cas de la première forme ou « (p - 4, p, p + 2) », « (p, p + 2, p + 6) », « (p + 2, p + 6, p + 8) » dans le cas de la seconde forme.

Liste de quintuplets premiers

Les dix plus petits quintuplets premiers de la première forme (ajout d'un terme p + 12 à droite d'un quadruplet) sont :

• (5, 7, 11, 13, 17) ;
• (11, 13, 17, 19, 23) ;
• (101, 103, 107, 109, 113) ;
• (1 481, 1 483, 1 487, 1 489, 1 493) ;
• (16 061, 16 063, 16 067, 16 069, 16 073) ;
• (19 421, 19 423, 19 427, 19 429, 19 433) ;
• (21 011, 21 013, 21 017, 21 019, 21 023) ;
• (22 271, 22 273, 22 277, 22 279, 22 283) ;
• (43 781, 43 783, 43 787, 43 789, 43 793) ;
• (55 331, 55 333, 55 337, 55 339, 55 343).

Les onze plus petits quintuplets de nombres premiers de la seconde forme (ajout d'un terme p – 4 à gauche d'un quadruplet) sont :

• (7, 11, 13, 17, 19) ;
• (97, 101, 103, 107, 109) ;
• (1 867, 1 871, 1 873, 1 877, 1 879) ;
• (3 457, 3 461, 3 463, 3 467, 3 469) ;
• (5 647, 5 651, 5 653, 5 657, 5 659) ;
• (15 727, 15 731, 15 733, 15 737, 15 739) ;
• (16 057, 16 061, 16 063, 16 067, 16 069) ;
• (19 417, 19 421, 19 423, 19 427, 19 429) ;
• (43 777, 43 781, 43 783, 43 787, 43 789) ;
• (79 687, 79 691, 79 693, 79 697, 79 699) ;
• (88 807, 88 811, 88 813, 88 817, 88 819).

On ignore s'il existe un nombre infini de tels quintuplets.

Référence

Bibliographie

• Jean-Paul Delahaye, Merveilleux nombres premiers : Voyage au cœur de l'arithmétique, 2000 [détail de l’édition]

Liens externes

• (en) Suite  A022006 de l'OEIS : début de la liste des p tels que (p, p+2, p+6, p+8, p+12) est un quintuplet premier (première forme) ;
• (en) Suite suite A022007 de l'OEIS de l'OEIS : début de la liste des p tels que (p, p+4, p+6, p+10, p+12) est un quintuplet premier (seconde forme).

v · m Nombres premiers
Donnés par une formule	combinatoire factoriel (n!±1) primoriel (pn#±1) Euclide (pn#+1) polynomiale Pythagore (4n + 1) cubain (x3 − y3)/(x − y) quatrain (x4 + y4) exponentielle Fermat (22n + 1) Mersenne (2p – 1) Double de Mersenne (22p–1 –1) Pierpont (2u3v + 1) Carol ((2n – 1)2 – 2) Kynea ((2n + 1)2 – 2) Thebit (3·2n – 1) Wagstaff ((2p + 1)/3) Proth (k2n + 1) Cullen (n2n + 1) Woodall (n2n – 1) Mills (⌊A3n⌋)
Appartenant à une suite	Fibonacci Lucas Motzkin Bell Pell Perrin Newman-Shanks-Williams
Ayant une propriété remarquable	bon chanceux fortuné Higgs illégal Pillai Ramanujan régulier Stern super supersingulier Wall-Sun-Sun Wieferich Paire de Wieferich Wilson Wolstenholme
Ayant une propriété dépendant de la base	diédral palindrome Reimerp répunit (10n − 1)/9 permutable circulaire délicat tronquable minimal long unique Smarandache-Wellin partie entière de puissances de constante troncature de constante
Propriétés mettant en jeu plusieurs nombres	singleton Chen {p ; p+2 premier ou semi-premier} équilibré (faible, fort) {pn ; pn = (<, >) (pn–1 + pn+1)/2} Sophie Germain {p ; 2p + 1 premier} sûr {p ; (p – 1)/2 premier} n-uplet jumeaux (p, p + 2) cousins (p, p + 4) sexy (p, p + 6) triplet (p, p + 2 ou p + 4, p + 6) quadruplet (p, p + 2, p + 6, p + 8) quintuplet (p – 4, p, p + 2, p + 6, p + 8) ou (p, p + 2, p + 6, p + 8, p + 12) sextuplet (p – 4, p, p + 2, p + 6, p + 8, p + 12) suite progression arithmétique (p + an) chaîne de Cunningham (p, 2p ± 1, etc.)
Classement par taille	titanesque (1 000+ chiffres) gigantesque (10 000+) méga (1 000 000+) record
Généralisations (entier quadratique)	Eisenstein Gauss
Nombre composé	pseudo-premier presque premier semi-premier interpremier
Nombre connexe	probable (NPP)
Test de primalité	Crible d'Ératosthène Test de Fermat Test de Lucas-Lehmer Test de Lucas-Lehmer pour les nombres de Mersenne Test de Pépin Test de Miller-Rabbin Test de Solovay-Strassen Test AKS
Conjectures et théorèmes de théorie des nombres	Conjecture d'Agoh-Giuga Conjecture d'Artin Conjecture de Bateman-Horn Conjecture de Bouniakovski Conjecture de Brocard Conjecture de Cramér Conjecture de Dickson Conjecture d'Elliott-Halberstam Conjecture de Firoozbakht Conjecture de Goldbach forte faible Conjecture de Grimm Conjecture de Hardy-Littlewood première seconde Conjecture de Legendre Conjecture de Lemoine Conjecture des nombres premiers de Waring Conjecture d'Oppermann Conjecture de Polignac Conjecture de Redmond-Sun Fonction de compte des nombres premiers Formules pour les nombres premiers Hypothèse H de Schinzel Nouvelle conjecture de Mersenne Théorème de Green-Tao Théorème des nombres premiers Théorème de la progression arithmétique Théorème de Rosser Théorème de Vinogradov
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