Constante d'Apéry

En analyse mathématique, la constante d'Apéry est la valeur en 3 de la fonction zêta de Riemann :

${\displaystyle \zeta (3)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}\approx 1{,}202}$^[1].

Elle porte le nom de Roger Apéry, qui a montré en 1978 que ce nombre est irrationnel.

On n'en connaît pas de forme fermée.

Décimales connues

Cette constante était connue avec 128 000 026 décimales en 1998^[2], 1 000 000 000^[3] en 2003 et jusqu'à 400 000 000 000 décimales en 2015^[4].

Occurrences

Ce nombre apparaît dans diverses situations :

• dans différents problèmes de physique, dont les termes de deuxième et troisième ordre du rapport gyromagnétique de l'électron en électrodynamique quantique ;
• en théorie des graphes^[5] ;
• en compagnie de la fonction gamma lors de la résolution de certaines intégrales qui font appel aux fonctions exponentielles (par exemple dans la solution à deux dimensions du modèle de Debye) ;
• en théorie des nombres : pour tout entier k > 1, la probabilité pour que k entiers > 0 pris au hasard n'aient aucun facteur commun est égale à 1/ζ(k) (cf. § « Représentation de 1/ζ et fonction M de Mertens » de l'article « Fonction zêta de Riemann »), en particulier, la probabilité pour trois nombres d'être premiers entre eux est égale à l'inverse de la constante d'Apéry, 1/ζ(3) ≃ 0,831907…^[6].

Irrationalité

Le nombre ζ(3) est irrationnel^[7].

On ne sait pas s'il est transcendant^[9].

Par comparaison, pour tout entier k > 0, le nombre ζ(2k) est transcendant car commensurable à π^2k (par exemple : ζ(2) = π²/6).

Représentations par des séries

Séries classiques

${\displaystyle \zeta (3)=}$^[10],[11] ${\displaystyle -{\frac {4\pi ^{2}}{7}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\zeta (2k)}{2^{2k}(2k+1)(2k+2)}}}$ (avec ${\displaystyle {\zeta (2k)=(-1)^{k+1}{\frac {(2\pi )^{2k}B_{2k}}{2(2k)!}}}}$, où les ${\displaystyle {\textstyle {B_{2k}}}}$ sont les nombres de Bernoulli).

${\displaystyle \zeta (3)=}$^[12] ${\displaystyle {\frac {8}{7}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)^{3}}}={\frac {8}{7}}\lambda (3)}$, où λ est la fonction lambda de Dirichlet^[13].

${\displaystyle \zeta (3)=}$^[12] ${\displaystyle {\frac {4}{3}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(k+1)^{3}}}={\frac {4}{3}}\eta (3)}$, où η est la fonction êta de Dirichlet.

${\displaystyle \zeta (3)=}$^[14],[15] ${\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}={\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}}{n^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n-1}}{n^{2}}}}$, où H_n est le n-ième nombre harmonique.

${\displaystyle \zeta (3)=}$^[16] ${\displaystyle 8\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}H_{n-1}}{n^{2}}}}$.

Convergence rapide

Il est à noter que contrairement aux autres formules dans ce paragraphe, la première a été déterminée au XIX^e siècle, dès 1830 et ce par Clausen :

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\binom {2n}{n}}{2^{4n}(2n+1)^{2}}}-{\frac {3}{8}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{{\binom {2n+1}{n}}(n+1)^{3}}}}$.

${\displaystyle \zeta (3)=}$^[17] ${\displaystyle {\frac {5}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{{\binom {2n}{n}}n^{3}}}}$.

${\displaystyle \zeta (3)=}$^[18] ${\displaystyle {\frac {1}{4}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}(56n^{2}-32n+5)}{{\binom {3n}{n}}{\binom {2n}{n}}n^{3}(2n-1)^{2}}}}$.

${\displaystyle \zeta (3)=}$^[19] ${\displaystyle {\frac {1}{64}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}n!^{10}}{(2n+1)!^{5}}}\left(205n^{2}+250n+77\right)}$.

${\displaystyle \zeta (3)=}$^[20] ${\displaystyle {\frac {1}{24}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\left[(2n+1)!(2n)!n!\right]^{3}}{(4n+3)!^{3}(3n+2)!}}\left(126\,392n^{5}+412\,708n^{4}+531\,578n^{3}+336\,367n^{2}+104\,000n+12\,463\right)}$.

Autres

Les Cahiers de Ramanujan^[21] ont inspiré à Simon Plouffe les formules suivantes^[22] :

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {7}{180}}\pi ^{3}-2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}(\mathrm {e} ^{2\pi n}-1)}}}$ ;

${\displaystyle \zeta (3)=14\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}\sinh(\pi n)}}-{\frac {11}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}(\mathrm {e} ^{2\pi n}-1)}}-{\frac {7}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}(\mathrm {e} ^{2\pi n}+1)}}}$.

Srivastava^[23] a collecté de nombreuses séries qui convergent vers ζ(3).

Représentations par des intégrales

Formules simples

La première est issue de la définition de la fonction ζ par une série et les deux suivantes, d'expressions intégrales bien connues de cette fonction :

${\displaystyle \zeta (3)=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {1}{1-xyz}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z}$ ;

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2}}{\mathrm {e} ^{x}-1}}\,\mathrm {d} x={\frac {2}{3}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2}}{\mathrm {e} ^{x}+1}}\,\mathrm {d} x}$.

La suivante résulte du développement de Taylor de χ₃(e^ix) en x = ±π/2, où χ_ν est la fonction chi de Legendre^{[réf. souhaitée]} :

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {4}{7}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}x\ln {(\sec x+\tan x)}\,\mathrm {d} x}$.

Elle ressemble à cette expression de la constante de Catalan K :

${\displaystyle \mathrm {K} ={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\ln {(\sec x+\tan x)}\,\mathrm {d} x}$.

Une autre formule similaire, issue du développement en série entière de la fonction complexe ${\displaystyle \ln {(1-z)}}$ :

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {8}{7}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}x\ln {\tan x}\,\mathrm {d} x}$

De manière analogue, la constante de Catalan s'exprime par :

${\displaystyle \mathrm {K} =-\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}\ln {\tan x}\,\mathrm {d} x}$

Formules plus compliquées

${\displaystyle \zeta (3)=}$^[24] ${\displaystyle \pi \!\!\int _{0}^{\infty }\!{\frac {\cos(2\arctan {x})}{\left(x^{2}+1\right)\cosh ^{2}{\frac {\pi x}{2}}}}\,\mathrm {d} x}$.

${\displaystyle \zeta (3)=}$^[25] ${\displaystyle -{\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {\ln(xy)}{1-xy}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=-\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {\ln(1-xy)}{xy}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}$.

${\displaystyle \zeta (3)=}$^[26] ${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {\ln x\ln(1-x)}{x}}\,\mathrm {d} x}$.

${\displaystyle \zeta (3)=}$^[27] ${\displaystyle {\frac {8\pi ^{2}}{7}}\int _{0}^{1}{\frac {x\left(x^{4}-4x^{2}+1\right)\ln \ln {\frac {1}{x}}}{(1+x^{2})^{4}}}\,\mathrm {d} x={\frac {8\pi ^{2}}{7}}\int _{1}^{\infty }{\frac {x\left(x^{4}-4x^{2}+1\right)\ln \ln x}{(1+x^{2})^{4}}}\,\mathrm {d} x}$.

${\displaystyle \zeta (3)=}$^[28] ${\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}\Gamma '''(1)+{\tfrac {3}{2}}\Gamma '(1)\Gamma ''(1)-{\big (}\Gamma '(1){\big )}^{3}=-{\tfrac {1}{2}}\psi _{2}(1)}$, et l'on connaît des représentations intégrales de la fonction gamma et ses dérivées, et de la fonction digamma.

Notes et références

Voir aussi

Articles connexes

• Valeurs particulières de la fonction zêta de Riemann
• Nombres premiers issus de troncature de cette constante

Bibliographie

• (en) A. Cuyt, V. Brevik Petersen, B. Verdonk, H. Waadeland et W. B. Jones, Handbook of Continued Fractions for Special Functions, Springer, 2008 (ISBN 978-1-4020-6948-2, lire en ligne), p. 188
• (en) D. J. Broadhurst, « Polylogarithmic ladders, hypergeometric series and the ten millionth digits of ζ(3) and ζ(5) »,‎ 1998 (arXiv math.CA/9803067)

• Arithmétique et théorie des nombres