Pareto-jakauma

Pareto-jakauma

Tiheysfunktio Pareto-jakauman tiheysfunktio piirrettynä useilla eri parametrin α (merkitty "k") arvoilla, kun xm = 1. Kun α → ∞, niin jakauma lähestyy funktiota δ(x − xm), missä δ on Diracin deltafunktio.
Kertymäfunktio Pareto-jakauman kertymäfunktio piirrettynä useilla eri parametrin α(merkitty "k") arvoilla, kun xm = 1.
Parametrit	${\displaystyle x_{\mathrm {m} }>0\,}$ skaala (reaalinen) ${\displaystyle \alpha >0\,}$ muoto (reaalinen)
Määrittelyjoukko	${\displaystyle x\in [x_{\mathrm {m} },+\infty )\!}$
Tiheysfunktio	${\displaystyle {\frac {\alpha \,x_{\mathrm {m} }^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}}{\text{ kun }}x\geq x_{m}\!}$
Kertymäfunktio	${\displaystyle 1-\left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{x}}\right)^{\alpha }{\text{ kun }}x\geq x_{m}\!}$
Odotusarvo	${\displaystyle {\begin{cases}\infty &{\text{kun }}\alpha \leq 1\\{\frac {\alpha \,x_{\mathrm {m} }}{\alpha -1}}&{\text{kun }}\alpha >1\end{cases}}}$
Mediaani	${\displaystyle x_{\mathrm {m} }{\sqrt[{\alpha }]{2}}}$
Moodi	${\displaystyle x_{\mathrm {m} }\,}$
Varianssi	${\displaystyle {\begin{cases}\infty &{\text{kun }}\alpha \in (1,2]\\{\frac {x_{\mathrm {m} }^{2}\alpha }{(\alpha -1)^{2}(\alpha -2)}}&{\text{kun }}\alpha >2\end{cases}}}$
Vinous	${\displaystyle {\frac {2(1+\alpha )}{\alpha -3}}\,{\sqrt {\frac {\alpha -2}{\alpha }}}{\text{ kun }}\alpha >3\,}$
Huipukkuus	${\displaystyle {\frac {6(\alpha ^{3}+\alpha ^{2}-6\alpha -2)}{\alpha (\alpha -3)(\alpha -4)}}{\text{ kun }}\alpha >4\,}$
Entropia	${\displaystyle \ln \left({\frac {x_{\mathrm {m} }}{\alpha }}\right)+{\frac {1}{\alpha }}+1\!}$
Momentit generoiva funktio	${\displaystyle \alpha (-x_{\mathrm {m} }t)^{\alpha }\Gamma (-\alpha ,-x_{\mathrm {m} }t){\text{ kun }}t<0\,}$
Karakteristinen funktio	${\displaystyle \alpha (-ix_{\mathrm {m} }t)^{\alpha }\Gamma (-\alpha ,-ix_{\mathrm {m} }t)\,}$
Fisherin informaatiomatriisi	${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {\alpha }{x_{m}^{2}}}&-{\frac {1}{x_{m}}}\\-{\frac {1}{x_{m}}}&{\frac {1}{\alpha ^{2}}}\end{pmatrix}}}$

Pareto-jakauma on todennäköisyysjakauma, joka on nimetty italialaisen yhteiskuntatieteilijä Vilfredo Pareton mukaan. Muilla tieteenaloilla sitä kutsutaan toisinaan Bradford-jakaumaksi.

Alun perin Pareto käytti jakaumaa kuvaamaan varallisuuden jakautumista ihmisten kesken. Jakauma näytti kuvaavan varsin hyvin, kuinka pieni joukko ihmisiä omistaa aina suhteellisesti isomman osuuden varallisuudesta yhteiskunnissa. Ideaa kutsutaan joskus yksinkertaisemmin Pareton periaatteeksi.

Esimerkkejä sovelluksista

• Sanojen osuus pitkissä teksteissä
• Ihmisasutusten koko (vähän kaupunkeja, paljon kyliä)
• Tiedostojen jakauma internet-liikenteessä, joka käyttää TCP-protokollaa (paljon pieniä ja vähän suuria tiedostoja)

Ominaisuudet

Jos X on Pareto-jakautunut satunnaismuuttuja, niin todennäköisyys, että X on suurempi kuin jokin luku x on

${\displaystyle \operatorname {P} (X>x)=\left({\frac {x}{x_{\mathrm {m} }}}\right)^{-k}}$

kaikilla x ≥ x_m, missä x_m on (aina positiivinen) pienin mahdollinen X:n arvo ja k on positiivinen parametri. Pareto-jakaumilla on kaksi parametria: x_m ja k. Kun jakaumaa käytetään varallisuuden jakauman mallinnukseen, k:ta kutsutaan Pareto-indeksiksi.

Näin ollen tiheysfunktio on

${\displaystyle f(x;k,x_{\mathrm {m} })=k\,{\frac {x_{\mathrm {m} }^{k}}{x^{k+1}}}\ }$

kaikilla x ≥ x_m. Pareto-jakaumaa noudattavan satunnaismuuttujan odotusarvo on

${\displaystyle \operatorname {E} (X)={\frac {kx_{m}}{k-1}}\,}$

(jos ${\displaystyle k\leq 1}$, odotusarvo on ääretön). Sen varianssi on

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\left({\frac {x_{m}}{k-1}}\right)^{2}{\frac {k}{k-2}}}$

(jos ${\displaystyle k\leq 2}$, varianssi on ääretön).

Aiheesta muualla

Wikimedia Commonsissa on kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Pareto-jakauma.