Hypergeometrinen jakauma

Hypergeometrinen jakauma
Todennäköisyysfunktio
Kertymäfunktio
Parametrit N ∈ { 0 , 1 , 2 , … } K ∈ { 0 , 1 , 2 , … , N } n ∈ { 0 , 1 , 2 , … , N } {\displaystyle {\begin{aligned}N&\in \left\{0,1,2,\dots \right\}\\K&\in \left\{0,1,2,\dots ,N\right\}\\n&\in \left\{0,1,2,\dots ,N\right\}\end{aligned}}\,}
Määrittelyjoukko k ∈ { max ( 0 , n + K − N ) , … , min ( K , n ) } {\displaystyle \scriptstyle {k\,\in \,\left\{\max {(0,\,n+K-N)},\,\dots ,\,\min {(K,\,n)}\right\}}\,}
Pistetodennäköisyysfunktio ( K k ) ( N − K n − k ) ( N n ) {\displaystyle {{{K \choose k}{{N-K} \choose {n-k}}} \over {N \choose n}}}
Kertymäfunktio 1 − ( n k + 1 ) ( N − n K − k − 1 ) ( N K ) 3 F 2 [ 1 ,   k + 1 − K ,   k + 1 − n k + 2 ,   N + k + 2 − K − n ; 1 ] {\displaystyle 1-{{{n \choose {k+1}}{{N-n} \choose {K-k-1}}} \over {N \choose K}}\,_{3}F_{2}\!\!\left[{\begin{array}{c}1,\ k+1-K,\ k+1-n\\k+2,\ N+k+2-K-n\end{array}};1\right]}
Odotusarvo n K N {\displaystyle n{K \over N}}
Moodi ⌊ ( n + 1 ) ( K + 1 ) N + 2 ⌋ {\displaystyle \left\lfloor {\frac {(n+1)(K+1)}{N+2}}\right\rfloor }
Varianssi n K N ( N − K ) N N − n N − 1 {\displaystyle n{K \over N}{(N-K) \over N}{N-n \over N-1}}
Vinous ( N − 2 K ) ( N − 1 ) 1 2 ( N − 2 n ) [ n K ( N − K ) ( N − n ) ] 1 2 ( N − 2 ) {\displaystyle {\frac {(N-2K)(N-1)^{\frac {1}{2}}(N-2n)}{[nK(N-K)(N-n)]^{\frac {1}{2}}(N-2)}}}
Huipukkuus 1 n K ( N − K ) ( N − n ) ( N − 2 ) ( N − 3 ) ⋅ {\displaystyle \left.{\frac {1}{nK(N-K)(N-n)(N-2)(N-3)}}\cdot \right.}

[ ( N − 1 ) N 2 ( N ( N + 1 ) − 6 K ( N − K ) − 6 n ( N − n ) ) + {\displaystyle {\Big [}(N-1)N^{2}{\Big (}N(N+1)-6K(N-K)-6n(N-n){\Big )}+} 6 n K ( N − K ) ( N − n ) ( 5 N − 6 ) ] {\displaystyle 6nK(N-K)(N-n)(5N-6){\Big ]}}

Momentit generoiva funktio ( N − K n ) 2 F 1 ( − n , − K ; N − K − n + 1 ; e t ) ( N n ) {\displaystyle {\frac {{N-K \choose n}\scriptstyle {\,_{2}F_{1}(-n,-K;N-K-n+1;e^{t})}}{N \choose n}}\,\!}
Karakteristinen funktio ( N − K n ) 2 F 1 ( − n , − K ; N − K − n + 1 ; e i t ) ( N n ) {\displaystyle {\frac {{N-K \choose n}\scriptstyle {\,_{2}F_{1}(-n,-K;N-K-n+1;e^{it})}}{N \choose n}}}

Hypergeometrinen jakauma on palauttamattomassa otannassa määrätyn osajoukon esiintymisten jakauma.

Hypergeometrinen jakauma on diskreetti. Jos satunnaismuuttuja X {\displaystyle X} on hypergeometrisesti jakautunut, merkitään

X ∼ Hyperg ⁡ ( N , M , n ) . {\displaystyle X\sim \operatorname {Hyperg} (N,M,n).}

Parametri N {\displaystyle N} on perusjoukon alkioiden lukumäärä, M {\displaystyle M} määrätyn osajoukon alkioiden lukumäärä ja n {\displaystyle n} on ottojen lukumäärä. Jakauman arvojoukko on { 0 , 1 , . . . , n } {\displaystyle \{0,1,...,n\}} . Pistetodennäköisyysfunktio on

P ⁡ ( X = i ) = ( M i ) ( N − M n − i ) ( N n ) . {\displaystyle \operatorname {P} (X=i)={\frac {{M \choose i}{N-M \choose n-i}}{N \choose n}}.}

Odotusarvo ja varianssi ovat

E ⁡ ( X ) = n M N {\displaystyle \operatorname {E} (X)={\frac {nM}{N}}} ja Var ⁡ ( X ) = ( N − n ) n M ( N − M ) ( N − 1 ) N 2 . {\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {(N-n)nM(N-M)}{(N-1)N^{2}}}.}

Katso myös

  • Binomikerroin

Aiheesta muualla

  • Mathworld: Hypergeometric Distribution
Diskreettejä jakaumia
Jatkuvia jakaumia
Moniulotteisia jakaumia
  • Dirichlet-jakauma
  • Moniulotteinen Studentin t-jakauma
  • Multinomijakauma
  • Multinormaalijakauma