Binomijakauma Todennäköisyysfunktio Kertymäfunktio Merkintä B (n , p ) Parametrit n ∈ N 0 — kokeiden lukumääräp ∈ [0,1] — kunkin kokeen onnistumistodennäköisyys Määrittelyjoukko k ∈ { 0, …, n } — onnistumisten lukumäärä Pistetodennäköisyysfunktio ( n k ) p k ( 1 − p ) n − k {\displaystyle \textstyle {n \choose k}\,p^{k}(1-p)^{n-k}} Kertymäfunktio I 1 − p ( n − k , 1 + k ) {\displaystyle \textstyle I_{1-p}(n-k,1+k)} Odotusarvo np Mediaani ⌊np ⌋ tai ⌈np ⌉ Moodi ⌊(n + 1)p ⌋ tai ⌊(n + 1)p ⌋ − 1 Varianssi np (1 − p ) Vinous 1 − 2 p n p ( 1 − p ) {\displaystyle {\frac {1-2p}{\sqrt {np(1-p)}}}} Huipukkuus 1 − 6 p ( 1 − p ) n p ( 1 − p ) {\displaystyle {\frac {1-6p(1-p)}{np(1-p)}}} Entropia 1 2 log 2 ( 2 π e n p ( 1 − p ) ) + O ( 1 n ) {\displaystyle {\frac {1}{2}}\log _{2}{\big (}2\pi e\,np(1-p){\big )}+O\left({\frac {1}{n}}\right)} Momentit generoiva funktio ( 1 − p + p e t ) n {\displaystyle (1-p+pe^{t})^{n}\!} Karakteristinen funktio ( 1 − p + p e i t ) n {\displaystyle (1-p+pe^{it})^{n}\!} Todennäköisyydet generoiva funktio G ( z ) = [ ( 1 − p ) + p z ] n . {\displaystyle G(z)=\left[(1-p)+pz\right]^{n}.} Fisherin informaatiomatriisi g ( p , n ) = n p ( 1 − p ) {\displaystyle g(p,n)={\frac {n}{p(1-p)}}} (vain jatkuvan parametrin tapauksessa)
Binomijakauma on dikotomisen toistokokeen lopputulosten lukumäärän jakauma.[1] Se siis kuvaa eri onnistumisten lukumäärien todennäköisyyttä toistettaessa koetta tietty määrä ja onnistumisen todennäköisyyden ollessa vakio.
Binomijakauma on diskreetti. Jos satunnaismuuttuja X {\displaystyle X} on binomijakautunut , merkitään[1]
X ∼ Bin ( n , p ) . {\displaystyle X\sim \operatorname {Bin} (n,p).} Jakauman parametri 0 ≤ p ≤ 1 {\displaystyle 0\leq p\leq 1} on toisen lopputuloksen todennäköisyys, ja parametri n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } on toistojen lukumäärä. Jakauman arvojoukko on { 0 , 1 , . . . , n } {\displaystyle \{0,1,...,n\}} . Pistetodennäköisyysfunktio on
P ( X = i ) = ( n i ) p i ( 1 − p ) n − i {\displaystyle \operatorname {P} (X=i)={n \choose i}p^{i}(1-p)^{n-i}} , missä i {\displaystyle i} on onnistumisten lukumäärä toistokokeessa. Odotusarvo ja varianssi ovat
E ( X ) = n p {\displaystyle \operatorname {E} (X)=np} ja Var ( X ) = n p ( 1 − p ) . {\displaystyle \operatorname {Var} (X)=np(1-p).} Jos X 1 ∼ Bin ( n 1 , p ) {\displaystyle X_{1}\sim \operatorname {Bin} (n_{1},p)} ja X 2 ∼ Bin ( n 2 , p ) {\displaystyle X_{2}\sim \operatorname {Bin} (n_{2},p)} ja jos X 1 {\displaystyle X_{1}} ja X 2 {\displaystyle X_{2}} ovat riippumattomia, niin X 1 + X 2 ∼ Bin ( n 1 + n 2 , p ) {\displaystyle X_{1}+X_{2}\sim \operatorname {Bin} (n_{1}+n_{2},p)} .
Binomijakauman yhteys Bernoullin jakaumaan on
Bin ( 1 , p ) = B ( p ) . {\displaystyle \operatorname {Bin} (1,p)=\operatorname {B} (p).} Katso myös Lähteet ↑ a b Weisstein, Eric W.: Bionomial Distribution MathWorld--A Wolfram Web Resource . Viitattu 18.7.2017. Aiheesta muualla Commons Mathworld: Binomial Distribution
Diskreettejä jakaumia Jatkuvia jakaumia Moniulotteisia jakaumia Dirichlet-jakauma Moniulotteinen Studentin t-jakauma Multinomijakauma Multinormaalijakauma