Teoria aditiva dos números

Em teoria dos números, a teoria aditiva dos números estuda o comportamento de subconjuntos dos naturais sob a operação de soma, como por exemplo o problema de calcular a quantidade de maneiras de expressar um inteiro positivo como a soma de elementos de um certo conjunto de inteiros não-negativos. De maneira mais abstrata, a teoria aditiva dos números inclui o estudo de grupos abelianos e semigrupos comutativos com a operação de adição. A teoria aditiva dos números tem muitas ligações com teoria combinatória dos números e geometria dos números. Dois objetos principais de estudo são:

• O sumset de dois subconjuntos ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$ de um grupo abeliano ${\displaystyle G}$;

${\displaystyle A+B=\{a+b:a\in A,b\in B\}}$;

• O k-ésimo sumset de ${\displaystyle A}$, i.e.

${\displaystyle hA={\underset {h}{\underbrace {A+\cdots +A} }}.}$

Dois problemas nesta área são a conjectura de Goldbach e o problema de Waring. Muitos destes problemas são estudados usando ferramentas como o Método do círculo de Hardy-Littlewood e Teoria dos crivos, além de abordagens mais elementares envolvendo o método probabilístico. Por exemplo, I. M. Vinogradov provou que todo número ímpar suficientemente grande é a soma de três primos, e assim todo inteiro suficientemente grande é pode ser escrito como soma de quatro primos. D. Hilbert mostrou que dado ${\displaystyle k>1}$, todo inteiro não-negativo pode ser expresso como soma de até ${\displaystyle h=h_{k}}$ ${\displaystyle k}$-potências. Em geral, um subconjunto ${\displaystyle A}$ dos naturais é chamado de base assintotica de ordem ${\displaystyle h}$ se todo inteiro suficientemente grande pode ser escrito como soma de exatamente ${\displaystyle h}$elementos do conjunto ${\displaystyle A}$. Uma base assintótica de ordem é chamado de minimal se não é subconjunto próprio de nenhuma outra base assintotica de ordem.

Grande parte da teoria aditiva dos números moderna se preocupa com as propriedades assintóticas de bases de ordem finita. Sabe-se que^{[carece de fontes?]} bases minimais de ordem ${\displaystyle h}$ existem para todo ${\displaystyle h>1}$, mas existem bases assintóticas de ordem ${\displaystyle h}$ que não contêm sub-bases minimais de mesma ordem.

Ver também

• Teoria multiplicativa dos números
• Sumset

Referências

• Melvyn B. Nathanson, Additive Number Theory: The Classical Bases, Springer-Verlag, 1996.
• Melvyn B. Nathanson, Additive Number Theory: Inverse Problems and the Geometry of Sumsets, Springer-Verlag, 1996.
• Este artigo foi inicialmente traduzido, total ou parcialmente, do artigo da Wikipédia em inglês cujo título é «Additive number theory», especificamente desta versão.

Este artigo sobre matemática é um esboço. Você pode ajudar a Wikipédia expandindo-o. v d e

• Portal da matemática