Teorema de Mordell-Weil

O teorema de Mordell-Weil é um teorema matemático realizado por André Weil em 1928. Configura uma extensão a grupos abelianos em relação ao teorema de Mordell de 1922, este relacionado às curvas elípticas sobre ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

Enunciado

O teorema de Mordell afirma que se ${\displaystyle E:=y^{2}=f(x)}$ é uma curva elíptica racional não singular, isto é que ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle df}$ não tenham raízes comuns, então o grupo dos pontos racionais ${\displaystyle E(\mathbb {Q} )}$ é um grupo abeliano finitamente gerado.

Isto quer dizer que este grupo vem a ser isomorfo ao produto ${\displaystyle r}$ vezes ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ (a ${\displaystyle r}$ se lhe conhece pelo conjunto imagem da curva) multiplicados por sua vez por uma certa quantidade de grupos finitos i.e. ${\displaystyle E(\mathbb {Q} )\cong \overbrace {\mathbb {Z} \oplus ...\oplus \mathbb {Z} } ^{r\;\;vezes}\oplus {\frac {\mathbb {Z} }{p_{1}^{\lambda _{1}}\mathbb {Z} }}\oplus ...\oplus {\frac {\mathbb {Z} }{p_{s}^{\lambda _{s}}\mathbb {Z} }}}$

Se a curva é singular, então este teorema não é aplicável, mas além disso é que se mostra falso, pois então o grupo ${\displaystyle E(\mathbb {Q} )}$ vem a ser isomorfo a ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ com a soma ou ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{*}}$ com a multiplicação, que não são finitamente gerados.

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