A forma canônica de Jordan (português brasileiro) ou forma canónica de Jordan (português europeu) é uma forma de representar uma matriz ou operador linear através de uma outra matriz semelhante à original que é quase uma matriz diagonal. No corpo dos números complexos, esta forma é uma matriz triangular superior, em que os únicos elementos não-nulos são aqueles da diagonal ou imediatamente acima da diagonal.
O nome é uma referência a Camille Jordan.
Definições
Seja T um operador linear de um K-espaço vetorial V de dimensão finita, sendo K o corpo
ou
.
Caso Real
Se
, escrevamos o polinômio característico de T na forma
, com
se
.
Chama-se de um bloco de Jordan de ordem r à matriz quadrada de ordem r
dada por [1]
, que pode ser escrita através da soma de duas matrizes:
onde N é uma matriz nilpotente, pois
.
Se
são matrizes quadradas, não necessariamente de ordens iguais, define-se
como sendo a matriz quadrada de ordem igual à soma das ordens de
dada por
. Caso Complexo
Se
, escrevamos o polinômio característico de T na forma
, onde
é uma raiz complexa de pT, com
e
se
.
Se
é uma raiz complexa de
, define-se, analogamente à matriz
,
, onde
e
Teorema (de Jordan)
Sejam V um K-espaço vetorial de dimensão finita e T um operador linear de V. Se
e
, com
se
,
, então existe uma base na qual a matriz de T é da forma
, onde
são da forma
e
.
Se
e
, onde
é uma raiz complexa de pT com
e
se
(
), então existe uma base com relação à qual a matriz de T é da forma
onde
são da forma
e
e
são da forma
e
.
Corolário
A matriz de um operador T com relação a uma base qualquer é semelhante a uma matriz da forma
(caso complexo) ou
(caso real).
Observações
Blocos de Jordan com a mesma raiz
O teorema afirma, no caso complexo, que a matriz equivalente é da forma:
, mas é possivel que
quando
Por exemplo[2], a matriz 4x4 abaixo está na forma canônica de Jordan:
, em que
,
e
.
Unicidade
A forma canônica de Jordan é única, a menos de permutações entre os blocos de Jordan.
Referências
- ↑ Triangulação - Forma Canónica de Jordan, site do Departamento de Matemática da Universidade de Aveiro
- ↑ «Faça exemplos com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 22 de março de 2016
Bibliografia
- (em inglês) Daniel T. Finkbeiner II, Introduction to Matrices and Linear Transformations, Third Edition, Freeman, 1978.
- (em inglês) Gene H. Golub and Charles F. Van Loan, Matrix Computations (3rd ed.), Johns Hopkins University Press, Baltimore, 1996.
- (em inglês) Shafarevich, Igor R., Remizov, Alexey O. Linear Algebra and Geometry, Springer, 2012, ISBN 978-3-642-30993-9