Produto de matrizes

Em matemática, o produto de duas matrizes é definido somente quando o número de colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda matriz. Se A é uma matriz m×n (A também pode ser denotada por ${\displaystyle A_{m,n}}$) e B é uma matriz n×p, então seu produto é uma matriz m×p^[1] definida como AB (ou por A · B). O elemento de cada entrada ${\displaystyle c_{ij}}$ da matriz AB (o qual denotaremos por ${\displaystyle (AB)_{ij}}$) é dado pelo produto da i-ésima linha de A com a j-ésima coluna de B^[2], ou seja,

para cada par i e j com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ p.

Calculando diretamente a partir da definição

A figura à esquerda mostra como calcular o elemento (1,2) e o elemento (3,3) de AB se A é uma matriz 4×2, e B é uma matriz 2×3. Elementos de cada matriz são postos par a par na direcção das setas; cada par é multiplicado e os produtos são somados. A posição do número resultante em AB corresponde à linha e coluna que foi considerada.

Propriedades

• Multiplicação de matrizes não é em geral comutativa, ou seja, AB ≠ BA (exceto em casos especiais). Eis um exemplo:

Sejam ${\displaystyle A=\left[{\begin{array}{cc}1&0\\0&2\end{array}}\right]}$ e ${\displaystyle B=\left[{\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}}\right].}$ Note que

e AB ≠ BA.

Quando AB = BA, diz-se que A e B comutam^[3].

• Embora a multiplicação de matrizes não seja comutativa, os determinantes de AB e BA são sempre iguais (se A e B são matrizes quadradas de dimensões iguais). Veja o artigo sobre determinantes para esclarecimento.
• O produto é associativo, ou seja^[1]:

• O produto distribui sob a soma^[1]:

• Sejam A uma matriz de ordem m×n, B uma matriz de ordem n×p e ${\displaystyle \alpha }$ um número real, então vale que:

${\displaystyle (\alpha A)B=A(\alpha B)=\alpha (AB)}$^[4].

• Se A for uma matriz de ordem m×n, então vale que:

${\displaystyle A=AI_{n}=I_{m}A}$^[4], pois o número de colunas de A é igual ao número de linhas de ${\displaystyle I_{n}.}$ De modo semelhante, o número de colunas de ${\displaystyle I_{m}}$ é igual ao número de linhas da matriz A.

• Propriedade de matrizes transpostas: ${\displaystyle \left(AB\right)^{T}=B^{T}A^{T}}$ ^[1].

Observações:

• No caso das matrizes, se AB = 0, não necessariamente A = 0 ou B = 0^[3], pois podemos ter

${\displaystyle A=\left[{\begin{array}{cc}2&1\\0&0\end{array}}\right]}$ e ${\displaystyle B=\left[{\begin{array}{cc}0&2\\0&-4\end{array}}\right]}$

tais que

${\displaystyle A\cdot B=\left[{\begin{array}{cc}2&1\\0&0\end{array}}\right]\cdot \left[{\begin{array}{cc}0&2\\0&-4\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{cc}0&0\\0&0\end{array}}\right].}$

Mas se tivermos A.0, então o resultado necessariamente será 0 (0 denota a matriz nula)^[2].

• A lei do cancelamento não é válida, pois se A ≠ 0 e AB = AC, pode acontecer que B ≠ C^[3]. O caso a seguir ilustra isso:

Sejam ${\displaystyle A=\left[{\begin{array}{cc}5&3\\0&0\end{array}}\right],}$ ${\displaystyle B=\left[{\begin{array}{cc}1&0\\-1&0\end{array}}\right]}$ e ${\displaystyle C=\left[{\begin{array}{cc}-1&0\\{\frac {7}{3}}&0\end{array}}\right].}$

Note que AB = AC, pois

${\displaystyle \left[{\begin{array}{cc}5&3\\0&0\end{array}}\right]\cdot \left[{\begin{array}{cc}1&0\\-1&0\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{cc}5&3\\0&0\end{array}}\right]\cdot \left[{\begin{array}{cc}-1&0\\{\frac {7}{3}}&0\end{array}}\right]}$

${\displaystyle \Rightarrow \left[{\begin{array}{cc}2&0\\0&0\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{cc}2&0\\0&0\end{array}}\right]}$

porém B ≠ C.

Definições importantes de matrizes derivadas das propriedades da multiplicação

• Uma matriz quadrada A de ordem n é inversível se tiver uma inversa ${\displaystyle A^{-1}}$ de tal maneira que sua multiplicação resulte na matriz identidade, ou seja, ${\displaystyle A*A^{-1}=I_{n}.}$
• Neste caso, vale a comutatividade e ${\displaystyle A^{-1}*A=I_{n}}$^[1].

Algoritmos para a multiplicar matrizes eficientemente

O tempo de execução da multiplicação de matrizes quadradas, se efetuada de forma intuitiva, é ${\displaystyle O(n^{3}).}$ O tempo de execução para a multiplicação de matrizes retangulares (uma matriz m×p e outra p×n) é O(mnp), no entanto, existem algoritmos mais eficientes, tais como o algoritmo de Strassen, concebido por Volker Strassen em 1969, e chamado frequentemente de "multiplicação rápida de matrizes". Ele baseia-se em uma forma de multiplicar matrizes 2×2 que exige apenas 7 multiplicações (em vez das 8 usuais), em troca de fazer algumas oprerações de adição e subtração. A aplicação recursiva desse método produz um algoritmo cujo custo multiplicativo é ${\displaystyle O(n^{\log _{2}7})\approx O(n^{2.807}).}$ O algoritmo de Strassen é mais complexo se comparado com o algoritmo intuitivo, e ele carece de estabilidade numérica. Mesmo assim, está disponível em diversas bibliotecas, tais como BLAS, em que sua eficiência é significativamente maior para matrizes de dimensão n > 100^[5], e é muito útil para matrizes grandes sobre domínios exatos tais como corpos finitos, em que a estabilidade numérica não é um problema.

Notas e referências

Referências

• Press, William H.; Flannery, Brian P.; Teukolsky, Saul A.; Vetterling, William T. (2007), Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing, ISBN 978-0-521-88068-8 3rd ed. , Cambridge University Press .

Ligações externas

• «Multiplicação de matrizes». - implementações em várias linguagens de programação, no Rosetta Code 

Este artigo sobre matemática é um esboço. Você pode ajudar a Wikipédia expandindo-o. v d e