Równanie Langevina

Równanie Langevina – stochastyczne równanie różniczkowe bazujące na równaniu Newtona. Zaproponowane zostało po raz pierwszy w 1906 roku przez Paula Langevina do opisu ruchów Browna.

Jego najprostsza postać to

${\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {x} (t)}{\mathrm {d} t^{2}}}=-\gamma {\frac {\mathrm {d} \mathbf {x} }{\mathrm {d} t}}+F(x,t)+\Gamma (t),}$

gdzie: ${\displaystyle \mathbf {x} (t)}$ - trajektoria danej cząstki, ${\displaystyle m}$ - masa cząstki, ${\displaystyle \gamma }$ - współczynnik siły tarcia działającej na cząstkę, ${\displaystyle F(x,t)}$ - deterministyczna siła zewnętrzna, działająca na cząstkę, ${\displaystyle \Gamma (t)}$ - losowa siła, powstała na skutek przypadkowych zderzeń cząstki z cząstkami otoczenia; zazwyczaj przyjmuje się, że ${\displaystyle \Gamma (t)}$ ma postać białego szumu.

Wiele ciekawych wyników można otrzymać bez konieczności rozwiązywania powyższego równania, opierając się na twierdzeniu fluktuacyjno-dysypacyjnym. Wartości średnie (np: prędkości) można otrzymać rozwiązując odpowiednie równanie Fokkera-Plancka opisujące ewolucję czasową gęstości prawdopodobieństwa.

Gdy nie są znane metody analityczne, to znajduje się rozwiązania numeryczne, np. za pomocą metod Monte-Carlo.

Zobacz też

• Metoda Eulera-Maruyamy

Bibliografia

• C. W. Gardiner (2004). Handbook of Stochastic Methods: for Physics, Chemistry and the Natural Sciences. Springer. p. 415.
• Thomas Mikosch (1998). Elementary Stochastic Calculus: with Finance in View. Singapore: World Scientific Publishing. p. 212. ISBN 981-02-3543-7.
• Desmond Higham and Peter Kloeden, An Introduction to the Numerical Simulation of Stochastic Differential Equations, SIAM, ISBN 978-1-611976-42-7 (2021).

Linki zewnętrzne

• Rafał Latała, Wstęp do Analizy Stochastycznej, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW, 2009-2010.
• Jerzy Łuczka, Równania stochastyczne i ich interpretacja, w: PROCESY I ZJAWISKA LOSOWE, skrypt UŚ.