Równanie różniczkowe Riccatiego

Równanie różniczkowe Riccatiego – typ równania różniczkowego zwyczajnego nieliniowego rzędu pierwszego.

Równanie postaci:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=p(x)y^{2}+q(x)y+r(x),}$

gdzie ${\displaystyle p,q,r}$ są funkcjami ciągłymi, określonymi na pewnym ustalonym przedziale ${\displaystyle (a,b),}$ nazywane jest równaniem Riccatiego, od nazwiska włoskiego matematyka, Jacopo Riccatiego.

Przypadki szczególne:

• dla ${\displaystyle r(x)\equiv 0}$ równanie sprowadza się do równania różniczkowego Bernoulliego,
• dla ${\displaystyle p(x)\equiv 0}$ równanie sprowadza się do równania liniowego.

Można wykazać, że przez każdy punkt obszaru ${\displaystyle (a,b)\times \mathbb {R} }$ przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa. Dowodzi to, że całkowanie równania Riccatiego na ogół nie daje się sprowadzić do kwadratur. Znając jednak pewne rozwiązanie szczególne ${\displaystyle y_{1}}$ równania Riccatiego można sprowadzić je poprzez podstawienie:

${\displaystyle y=y_{1}+{\frac {1}{z}}}$

do równania liniowego. Istotnie, po wstawieniu otrzymuje się:

${\displaystyle y_{1}'-{\frac {z'}{z^{2}}}=p(x)y_{1}^{2}+q(x)y_{1}+r(x)+{\frac {2p(x)y_{1}}{z}}+{\frac {p(x)}{z^{2}}}+{\frac {q(x)}{z}},}$

skąd wobec równości:

${\displaystyle y_{1}'=p(x)y_{1}^{2}+q(x)y_{1}+r(x)}$

otrzymuje się równanie różniczkowe liniowe:

${\displaystyle z'+(2p(x)y_{1}+q(x))z=-p(x).}$

Do równania Riccatiego można sprowadzić równanie liniowe drugiego rzędu podstawieniem

${\displaystyle y(x)=e^{\int u(x)dx}.}$

Równanie Riccatiego można sprowadzić do równania liniowego drugiego rzędu podstawieniem

${\displaystyle u(x)=e^{-\int p(x)y(x)dx}.}$

Zobacz też

• algebraiczne równanie Riccatiego
• równanie różniczkowe Clairauta
• równanie różniczkowe zupełne

Bibliografia

• Franciszek Leja: Rachunek różniczkowy i całkowy. Warszawa: PWN, 1976, s. 464.